Álgebra Ejemplos

$\ln (2 x^{2} - 3 y^{2}) + \tan (\sqrt{x^{2} + y^{2}}) + \frac{x}{y^{2}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (2 x^{2} - 3 y^{2}) + \tan (\sqrt{x^{2} + y^{2}}) + \frac{x}{y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\ln (2 x^{2} - 3 y^{2})] + \frac{d}{d y} [\tan (\sqrt{x^{2} + y^{2}})] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (2 x^{2} - 3 y^{2})] + \frac{d}{d y} [\tan (\sqrt{x^{2} + y^{2}})] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d y} [\ln (2 x^{2} - 3 y^{2})]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \ln (y)$ y $g (y) = 2 x^{2} - 3 y^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x^{2} - 3 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [\tan (\sqrt{x^{2} + y^{2}})] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [\tan (\sqrt{x^{2} + y^{2}})] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x^{2} - 3 y^{2}$ .

$\frac{1}{2 x^{2} - 3 y^{2}} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [\tan (\sqrt{x^{2} + y^{2}})] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - 3 y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 x^{2} - 3 y^{2}} (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\tan (\sqrt{x^{2} + y^{2}})] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 2.3

Como $2 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{1}{2 x^{2} - 3 y^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\tan (\sqrt{x^{2} + y^{2}})] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 2.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3 y^{2}$ con respecto a $y$ es $- 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 x^{2} - 3 y^{2}} (0 - 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\tan (\sqrt{x^{2} + y^{2}})] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 x^{2} - 3 y^{2}} (0 - 3 (2 y)) + \frac{d}{d y} [\tan (\sqrt{x^{2} + y^{2}})] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{1}{2 x^{2} - 3 y^{2}} (0 - 6 y) + \frac{d}{d y} [\tan (\sqrt{x^{2} + y^{2}})] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 2.7

Resta $6 y$ de $0$ .

$\frac{1}{2 x^{2} - 3 y^{2}} (- 6 y) + \frac{d}{d y} [\tan (\sqrt{x^{2} + y^{2}})] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 2.8

Combina $- 6$ y $\frac{1}{2 x^{2} - 3 y^{2}}$ .

$\frac{- 6}{2 x^{2} - 3 y^{2}} y + \frac{d}{d y} [\tan (\sqrt{x^{2} + y^{2}})] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 2.9

Combina $\frac{- 6}{2 x^{2} - 3 y^{2}}$ y $y$ .

$\frac{- 6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{d}{d y} [\tan (\sqrt{x^{2} + y^{2}})] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{d}{d y} [\tan (\sqrt{x^{2} + y^{2}})] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\tan (\sqrt{x^{2} + y^{2}})]$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ como ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{d}{d y} [\tan ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \tan (y)$ y $g (y) = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\tan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec^{2} (u_{2})$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ y $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es $n {u_{3}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.5

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.12

Suma $0$ y $2 y$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.13

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.14

Combina $2$ y $\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} y) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.15

Combina $\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $y$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) \frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} y}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.16

Mueve ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) \frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.17

Cancela el factor común.

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) \frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.18

Reescribe la expresión.

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) \frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 3.19

Combina $\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ y $\frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

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Paso 4.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x}{y^{2}}$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Paso 4.2

Reescribe $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{- 1}$ y $g (y) = y^{2}$ .

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Paso 4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{4}$ como $y^{2}$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ es $n {u_{4}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x (- {u_{4}}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Paso 4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{4}$ con $y^{2}$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Paso 4.5

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 4.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x (- y^{- 4} (2 y))$

Paso 4.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x (- 2 y^{- 4} y)$

Paso 4.7

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Paso 4.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x (- 2 y^{1 - 4})$

Paso 4.9

Resta $4$ de $1$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x (- 2 y^{- 3})$

Paso 5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x (- 2 \frac{1}{y^{3}})$

Paso 6

Combina los términos.

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Paso 6.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x \frac{- 2}{y^{3}}$

Paso 6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x (- \frac{2}{y^{3}})$

Paso 6.3

Combina $x$ y $\frac{2}{y^{3}}$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x \cdot 2}{y^{3}}$

Paso 6.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} + \frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \cdot x}{y^{3}}$

Paso 6.5

Para escribir $- \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{3}}{y^{3}}$ .

$\frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} \cdot \frac{y^{3}}{y^{3}} - \frac{2 x}{y^{3}}$

Paso 6.6

Para escribir $- \frac{2 x}{y^{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x^{2} - 3 y^{2}}{2 x^{2} - 3 y^{2}}$ .

$\frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}} \cdot \frac{y^{3}}{y^{3}} - \frac{2 x}{y^{3}} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 y^{2}}{2 x^{2} - 3 y^{2}}$

Paso 6.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 x^{2} - 3 y^{2}) y^{3}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.7.1

Multiplica $\frac{6 y}{2 x^{2} - 3 y^{2}}$ por $\frac{y^{3}}{y^{3}}$ .

$\frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{6 y \cdot y^{3}}{(2 x^{2} - 3 y^{2}) y^{3}} - \frac{2 x}{y^{3}} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 y^{2}}{2 x^{2} - 3 y^{2}}$

Paso 6.7.2

Multiplica $\frac{2 x}{y^{3}}$ por $\frac{2 x^{2} - 3 y^{2}}{2 x^{2} - 3 y^{2}}$ .

$\frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{6 y \cdot y^{3}}{(2 x^{2} - 3 y^{2}) y^{3}} - \frac{2 x (2 x^{2} - 3 y^{2})}{y^{3} (2 x^{2} - 3 y^{2})}$

Paso 6.7.3

Reordena los factores de $(2 x^{2} - 3 y^{2}) y^{3}$ .

$\frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{6 y \cdot y^{3}}{y^{3} (2 x^{2} - 3 y^{2})} - \frac{2 x (2 x^{2} - 3 y^{2})}{y^{3} (2 x^{2} - 3 y^{2})}$

Paso 6.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 6 y \cdot y^{3} - 2 x (2 x^{2} - 3 y^{2})}{y^{3} (2 x^{2} - 3 y^{2})}$

Paso 6.9

Multiplica $y$ por $y^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.9.1

Mueve $y^{3}$ .

$\frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 6 (y^{3} y) - 2 x (2 x^{2} - 3 y^{2})}{y^{3} (2 x^{2} - 3 y^{2})}$

Paso 6.9.2

Multiplica $y^{3}$ por $y$ .

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Paso 6.9.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 6 (y^{3} y^{1}) - 2 x (2 x^{2} - 3 y^{2})}{y^{3} (2 x^{2} - 3 y^{2})}$

Paso 6.9.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 6 y^{3 + 1} - 2 x (2 x^{2} - 3 y^{2})}{y^{3} (2 x^{2} - 3 y^{2})}$

Paso 6.9.3

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{\sec^{2} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 6 y^{4} - 2 x (2 x^{2} - 3 y^{2})}{y^{3} (2 x^{2} - 3 y^{2})}$