Álgebra Ejemplos

$\tan (45 - 30)$

Paso 1

Usa la fórmula de diferencia para la tangente para simplificar la expresión. La fórmula establece que $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Paso 2

Elimina los paréntesis.

$\frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Paso 3.2

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Paso 3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)}$

Paso 4.2

Multiplica $\tan (30)$ por $1$ .

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (30)}$

Paso 4.3

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 4.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}$

Paso 5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 + \sqrt{3}}$

Paso 6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 + \sqrt{3}}$

Paso 6.2

Reescribe la expresión.

$(3 - \sqrt{3}) \frac{1}{3 + \sqrt{3}}$

Paso 7

Multiplica $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$(3 - \sqrt{3}) (\frac{1}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}})$

Paso 8

Simplifica los términos.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$(3 - \sqrt{3}) \frac{3 - \sqrt{3}}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Paso 8.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$(3 - \sqrt{3}) \frac{3 - \sqrt{3}}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 8.3

Simplifica.

$(3 - \sqrt{3}) \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

Paso 8.4

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \frac{3 - \sqrt{3}}{6} - \sqrt{3} \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

Paso 8.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.5.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$3 \frac{3 - \sqrt{3}}{3 (2)} - \sqrt{3} \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

Paso 8.5.2

Cancela el factor común.

$3 \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 2} - \sqrt{3} \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

Paso 8.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

Paso 8.6

Combina $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ y $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{(3 - \sqrt{3}) \sqrt{3}}{6}$

Paso 9

Simplifica cada término.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Paso 9.2

Multiplica $- \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Paso 9.2.1

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{6}$

Paso 9.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{6}$

Paso 9.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Paso 9.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Paso 9.3

Simplifica cada término.

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Paso 9.3.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 9.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Paso 9.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Paso 9.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Paso 9.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Paso 9.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 3^{1}}{6}$

Paso 9.3.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{6}$

Paso 9.3.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3} - 3}{6}$

Paso 9.4

Cancela el factor común de $3 \sqrt{3} - 3$ y $6$ .

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Paso 9.4.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 (\sqrt{3}) - 3}{6}$

Paso 9.4.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (- 1)}{6}$

Paso 9.4.3

Factoriza $3$ de $3 (\sqrt{3}) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{6}$

Paso 9.4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.4.4.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{3 (2)}$

Paso 9.4.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{3 \cdot 2}$

Paso 9.4.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 - \sqrt{3} - (\sqrt{3} - 1)}{2}$

Paso 11

Simplifica cada término.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - - 1}{2}$

Paso 11.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1}{2}$

Paso 12

Simplifica los términos.

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Paso 12.1

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

Paso 12.2

Resta $\sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 12.3

Cancela el factor común de $4 - 2 \sqrt{3}$ y $2$ .

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Paso 12.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 - 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 12.3.2

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3})}{2}$

Paso 12.3.3

Factoriza $2$ de $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2}$

Paso 12.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 (1)}$

Paso 12.3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 12.3.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Paso 12.3.4.4

Divide $2 - \sqrt{3}$ por $1$ .

$2 - \sqrt{3}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$0.26794919 \dots$