Álgebra Ejemplos

$f (x) = {({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Multiplica los exponentes en ${({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16}$ .

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Paso 1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot 16}]$

Paso 1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.1.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot (4 (4))}]$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot (4 \cdot 4)}]$

Paso 1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{x \cdot 4}]$

Paso 1.1.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = {1.25}^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [{1.25}^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $1.25$ .

${1.25}^{u} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) (4 \cdot 1)$

Paso 1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) \cdot 4$

Paso 1.3.3.2

Mueve $4$ a la izquierda de ${1.25}^{4 x} \ln (1.25)$ .

$f' (x) = 4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln (1.25)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $4 \ln (1.25)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln (1.25)$ con respecto a $x$ es $4 \ln (1.25) \frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$ .

$4 \ln (1.25) \frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = {1.25}^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$4 \ln (1.25) (\frac{d}{d u} [{1.25}^{u}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $1.25$ .

$4 \ln (1.25) ({1.25}^{u} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$4 \ln (1.25) ({1.25}^{4 x} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.3

Eleva $\ln (1.25)$ a la potencia de $1$ .

$4 ({1.25}^{4 x} (\ln^{1} (1.25) \ln (1.25)) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.4

Eleva $\ln (1.25)$ a la potencia de $1$ .

$4 ({1.25}^{4 x} (\ln^{1} (1.25) \ln^{1} (1.25)) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 ({1.25}^{4 x} {\ln (1.25)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.6

Suma $1$ y $1$ .

$4 ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.7

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.8

Multiplica $4$ por $4$ .

$16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \cdot 1$

Paso 2.10

Multiplica $16$ por $1$ .

$f'' (x) = 16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25)$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $16 \cdot ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25))$ .

$16 \cdot ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25))$