Álgebra Ejemplos

$f (x) = {({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int {({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16} d x$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {1.25}^{\frac{x}{4} \cdot 16} d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\int {1.25}^{\frac{x}{4} \cdot (4 (4))} d x$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\int {1.25}^{\frac{x}{4} \cdot (4 \cdot 4)} d x$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\int {1.25}^{x \cdot 4} d x$

Paso 3.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\int {1.25}^{4 x} d x$

Paso 4

Sea $u = 4 x$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 4.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int {1.25}^{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Paso 5

Combina ${1.25}^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{{1.25}^{u}}{4} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int {1.25}^{u} d u$

Paso 7

La integral de ${1.25}^{u}$ con respecto a $u$ es $\frac{{1.25}^{u}}{\ln (1.25)}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{{1.25}^{u}}{\ln (1.25)} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $\frac{1}{4} (\frac{{1.25}^{u}}{\ln (1.25)} + C)$ como $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\ln (1.25)} \cdot {1.25}^{u} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\ln (1.25)} \cdot {1.25}^{u} + C$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{\ln (1.25)}$ .

$\frac{1}{4 \ln (1.25)} \cdot {1.25}^{u} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$\frac{1}{4 \ln (1.25)} \cdot {1.25}^{4 x} + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = {({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4 \ln (1.25)} \cdot {1.25}^{4 x} + C$