Álgebra Ejemplos

$y = \sqrt[3]{x + 1}$ ; $[- 1, 7]$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\sqrt[3]{x + 1} = 0$

Paso 1.2

Resuelve $\sqrt[3]{x + 1} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x + 1}}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.2.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Simplifica ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 1.2.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 1.2.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 1)}^{1} = 0^{3}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Simplifica.

$x + 1 = 0^{3}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 1.2.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 1.3

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- 1, 0)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{7} \sqrt[3]{x + 1} d x - \int_{- 1}^{7} 0 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $- 1$ y $7$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- 1}^{7} \sqrt[3]{x + 1} - (0) d x$

Paso 3.2

Resta $0$ de $\sqrt[3]{x + 1}$ .

$\int_{- 1}^{7} \sqrt[3]{x + 1} d x$

Paso 3.3

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.3.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.3.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 3.3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.3.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x + 1$ .

$u_{lower} = - 1 + 1$

Paso 3.3.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 3.3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Paso 3.3.5

Suma $7$ y $1$ .

$u_{upper} = 8$

Paso 3.3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Paso 3.3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Paso 3.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$

Paso 3.6

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.6.1

Evalúa $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ en $8$ y en $0$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.6.2

Simplifica.

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Paso 3.6.2.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.6.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.6.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.6.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.6.2.5

Combina $\frac{3}{4}$ y $16$ .

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.6.2.6

Multiplica $3$ por $16$ .

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.6.2.7

Cancela el factor común de $48$ y $4$ .

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Paso 3.6.2.7.1

Factoriza $4$ de $48$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.6.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.7.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.6.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.6.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.6.2.7.2.4

Divide $12$ por $1$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.6.2.8

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Paso 3.6.2.9

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Paso 3.6.2.10

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.6.2.10.1

Cancela el factor común.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Paso 3.6.2.10.2

Reescribe la expresión.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{4}$

Paso 3.6.2.11

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0$

Paso 3.6.2.12

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$12 + 0 (\frac{3}{4})$

Paso 3.6.2.13

Multiplica $0$ por $\frac{3}{4}$ .

$12 + 0$

Paso 3.6.2.14

Suma $12$ y $0$ .

$12$

Paso 4