Álgebra Ejemplos

$x^{5} - 3 x^{4} + 4 x^{3} - 32 x + 48$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$- 3 x^{4} + 48 + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Paso 2

Factoriza $- 3$ de $- 3 x^{4} + 48$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 x^{4}$ .

$- 3 (x^{4}) + 48 + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Paso 2.2

Factoriza $- 3$ de $48$ .

$- 3 (x^{4}) - 3 (- 16) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Paso 2.3

Factoriza $- 3$ de $- 3 (x^{4}) - 3 (- 16)$ .

$- 3 (x^{4} - 16) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Paso 3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 ({(x^{2})}^{2} - 16) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Paso 4

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$- 3 ({(x^{2})}^{2} - 4^{2}) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Paso 5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , donde $a = x^{2}$ y $i = 4$ .

$- 3 ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4)) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Paso 6

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- 3 ((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2})) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Paso 6.1.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , donde $a = x$ y $i = 2$ .

$- 3 ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2))) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Paso 6.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 3 ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Paso 6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Paso 7

Factoriza $x$ de $x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x \cdot x^{4} + 4 x^{3} - 32 x$

Paso 7.2

Factoriza $x$ de $4 x^{3}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x \cdot x^{4} + x (4 x^{2}) - 32 x$

Paso 7.3

Factoriza $x$ de $- 32 x$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x \cdot x^{4} + x (4 x^{2}) + x \cdot - 32$

Paso 7.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{4} + x (4 x^{2})$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x^{4} + 4 x^{2}) + x \cdot - 32$

Paso 7.5

Factoriza $x$ de $x (x^{4} + 4 x^{2}) + x \cdot - 32$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x^{4} + 4 x^{2} - 32)$

Paso 8

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ({(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} - 32)$

Paso 9

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (u^{2} + 4 u - 32)$

Paso 10

Factoriza $u^{2} + 4 u - 32$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Considera la forma $x^{2} + i x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $i$ . En este caso, cuyo producto es $- 32$ y cuya suma es $4$ .

$- 4, 8$

Paso 10.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((u - 4) (u + 8))$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 8))$

Paso 12

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 8))$

Paso 13

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , donde $a = x$ y $i = 2$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8))$

Paso 13.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$

Paso 14

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4)) + x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$

Paso 14.2

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4)) + (x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 8))$

Paso 14.3

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4)) + (x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 8))$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4) + (x) (x^{2} + 8))$

Paso 15

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 3 \cdot 4 + (x) (x^{2} + 8))$

Paso 16

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + (x) (x^{2} + 8))$

Paso 17

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x \cdot x^{2} + x \cdot 8)$

Paso 18

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{1} x^{2} + x \cdot 8)$

Paso 18.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{1 + 2} + x \cdot 8)$

Paso 18.2

Suma $1$ y $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{3} + x \cdot 8)$

Paso 19

Mueve $8$ a la izquierda de $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{3} + 8 x)$

Paso 20

Reordena los términos.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12)$

Paso 21

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.1

Factoriza $x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12$ mediante la prueba de raíces racionales.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Paso 21.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Paso 21.1.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.1.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 12$

Paso 21.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 - 3 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 12$

Paso 21.1.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 + 8 \cdot 2 - 12$

Paso 21.1.3.4

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$8 - 12 + 8 \cdot 2 - 12$

Paso 21.1.3.5

Resta $12$ de $8$ .

$- 4 + 8 \cdot 2 - 12$

Paso 21.1.3.6

Multiplica $8$ por $2$ .

$- 4 + 16 - 12$

Paso 21.1.3.7

Suma $- 4$ y $16$ .

$12 - 12$

Paso 21.1.3.8

Resta $12$ de $12$ .

$0$

Paso 21.1.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12}{x - 2}$

Paso 21.1.5

Divide $x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12$ por $x - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 21.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$8 x$

$12$

Paso 21.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$

Paso 21.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 21.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 21.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Paso 21.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$

Paso 21.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$

Paso 21.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Paso 21.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{2} + 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

Paso 21.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$

Paso 21.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$

Paso 21.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $6 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$

Paso 21.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Paso 21.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $6 x - 12$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Paso 21.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	+	$12$
										$0$

Paso 21.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - x + 6$

Paso 21.1.6

Escribe $x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12$ como un conjunto de factores.

$(x + 2) (x - 2) ((x - 2) (x^{2} - x + 6))$

Paso 21.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 2) (x - 2) (x - 2) (x^{2} - x + 6)$

Paso 22

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.1

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

$(x + 2) ({(x - 2)}^{1} (x - 2)) (x^{2} - x + 6)$

Paso 22.2

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

$(x + 2) ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}) (x^{2} - x + 6)$

Paso 22.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 1} (x^{2} - x + 6)$

Paso 22.4

Suma $1$ y $1$ .

$(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x^{2} - x + 6)$