Álgebra Ejemplos

$5 x + 4 y = 8$ , $6 x - 3 y = 33$

Paso 1

Obtén la forma $A X = B$ del sistema de ecuaciones.

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 6 & - 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la inversa de la matriz de coeficientes.

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Paso 2.1

La inversa de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse mediante la fórmula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , en la que $a d - b c$ es el determinante.

Paso 2.2

Obtén el determinante.

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Paso 2.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 3 - 6 \cdot 4$

Paso 2.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$- 15 - 6 \cdot 4$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$- 15 - 24$

Paso 2.2.2.2

Resta $24$ de $- 15$ .

$- 39$

Paso 2.3

Como el determinante no es nulo, existe el inverso.

Paso 2.4

Sustituye los valores conocidos en la fórmula para la inversa.

$\frac{1}{- 39} [\begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 6 & 5 \end{array}]$

Paso 2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{39} [\begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 6 & 5 \end{array}]$

Paso 2.6

Multiplica $- \frac{1}{39}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{39} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2.7

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 2.7.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.7.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{39}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{39} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2.7.1.2

Factoriza $3$ de $39$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 (13)} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2.7.1.3

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2.7.1.4

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2.7.1.5

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{13} \cdot - 1 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2.7.2

Combina $\frac{- 1}{13}$ y $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{13} & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2.7.4

Multiplica $- \frac{1}{39} \cdot - 4$ .

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Paso 2.7.4.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & 4 (\frac{1}{39}) \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2.7.4.2

Combina $4$ y $\frac{1}{39}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2.7.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.7.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{39}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2.7.5.2

Factoriza $3$ de $39$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 (13)} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2.7.5.3

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 2) & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2.7.5.4

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 2) & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2.7.5.5

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{13} \cdot - 2 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2.7.6

Combina $\frac{- 1}{13}$ y $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- - 2}{13} & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2.7.7

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 2.7.8

Multiplica $- \frac{1}{39} \cdot 5$ .

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Paso 2.7.8.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - 5 (\frac{1}{39}) \end{array}]$

Paso 2.7.8.2

Combina $- 5$ y $\frac{1}{39}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & \frac{- 5}{39} \end{array}]$

Paso 2.7.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}]$

Paso 3

Multiplica por la izquierda ambos lados de la ecuación de matriz por la matriz inversa.

$([\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 6 & - 3 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

Paso 4

Cualquier matriz multiplicada por su inversa es igual a $1$ todo el tiempo. $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

Paso 5

Multiplica $[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$ .

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Paso 5.1

Dos matrices pueden multiplicarse solo si el número de columnas en la primera matriz es igual al número de filas en la segunda matriz. En este caso, la primera matriz es $2 \times 2$ y la segunda matriz es $2 \times 1$ .

Paso 5.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} \cdot 8 + \frac{4}{39} \cdot 33 \\ \frac{2}{13} \cdot 8 - \frac{5}{39} \cdot 33 \end{array}]$

Paso 5.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \end{array}]$

Paso 6

Simplifica los lados izquierdo y derecho.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \end{array}]$

Paso 7

Obtén la solución.

$x = 4$

$y = - 3$