Álgebra Ejemplos

$r = 8 \sin (θ) - 2 \cos (θ)$

Paso 1

Dado que $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ , reemplaza $\sin (θ)$ por $\frac{y}{r}$ .

$r = 8 \frac{y}{r} - 2 \cos (θ)$

Paso 2

Dado que $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ , reemplaza $\cos (θ)$ por $\frac{x}{r}$ .

$r = 8 \frac{y}{r} - 2 \frac{x}{r}$

Paso 3

Multiplica ambos lados por $r$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados por $r$ .

$r \cdot r = r (8 \frac{y}{r} - 2 \frac{x}{r})$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Multiplica $r$ por $r$ .

$r^{2} = r (8 \frac{y}{r} - 2 \frac{x}{r})$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica $r (8 \frac{y}{r} - 2 \frac{x}{r})$ .

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Paso 3.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1.1

Combina $8$ y $\frac{y}{r}$ .

$r^{2} = r (\frac{8 y}{r} - 2 \frac{x}{r})$

Paso 3.3.1.1.2

Combina $- 2$ y $\frac{x}{r}$ .

$r^{2} = r (\frac{8 y}{r} + \frac{- 2 x}{r})$

Paso 3.3.1.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r^{2} = r (\frac{8 y}{r} - \frac{2 x}{r})$

Paso 3.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r^{2} = r \frac{8 y}{r} + r (- \frac{2 x}{r})$

Paso 3.3.1.2.2

Cancela el factor común de $r$ .

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Paso 3.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$r^{2} = r \frac{8 y}{r} + r (- \frac{2 x}{r})$

Paso 3.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$r^{2} = 8 y + r (- \frac{2 x}{r})$

Paso 3.3.1.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$r^{2} = 8 y - r \frac{2 x}{r}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1

Cancela el factor común de $r$ .

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Paso 3.3.1.3.1.1

Factoriza $r$ de $- r$ .

$r^{2} = 8 y + r \cdot - 1 \frac{2 x}{r}$

Paso 3.3.1.3.1.2

Cancela el factor común.

$r^{2} = 8 y + r \cdot - 1 \frac{2 x}{r}$

Paso 3.3.1.3.1.3

Reescribe la expresión.

$r^{2} = 8 y - (2 x)$

Paso 3.3.1.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$r^{2} = 8 y - 2 x$

Paso 4

Dado que $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , reemplaza $r^{2}$ por $x^{2} + y^{2}$ y $r$ por $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = 8 y - 2 x$

Paso 5

Escribe en ecuación ordinaria.

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 5.1.1

Resta $8 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + y^{2} - 8 y = - 2 x$

Paso 5.1.2

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + y^{2} - 8 y + 2 x = 0$

Paso 5.1.3

Mueve $- 8 y$ .

$x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y = 0$

Paso 5.2

Completa el cuadrado de $x^{2} + 2 x$ .

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Paso 5.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Paso 5.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 5.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Paso 5.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 5.2.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 5.2.4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 5.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Paso 5.2.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Paso 5.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1$

Paso 5.3

Sustituye ${(x + 1)}^{2} - 1$ por $x^{2} + 2 x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y = 0$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 + y^{2} - 8 y = 0$

Paso 5.4

Mueve $- 1$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $1$ a ambos lados.

${(x + 1)}^{2} + y^{2} - 8 y = 0 + 1$

Paso 5.5

Completa el cuadrado de $y^{2} - 8 y$ .

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Paso 5.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Paso 5.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.3.2

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 5.5.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Paso 5.5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 4}{1}$

Paso 5.5.3.2.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$d = - 4$

Paso 5.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.4.2.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Paso 5.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Paso 5.5.4.2.1.3

Divide $64$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Paso 5.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Paso 5.5.4.2.2

Resta $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Paso 5.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y - 4)}^{2} - 16$ .

${(y - 4)}^{2} - 16$

Paso 5.6

Sustituye ${(y - 4)}^{2} - 16$ por $y^{2} - 8 y$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y = 0$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 16 = 0 + 1$

Paso 5.7

Mueve $- 16$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $16$ a ambos lados.

${(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 0 + 1 + 16$

Paso 5.8

Simplifica $0 + 1 + 16$ .

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Paso 5.8.1

Suma $0$ y $1$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1 + 16$

Paso 5.8.2

Suma $1$ y $16$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 17$