Álgebra Ejemplos

$\sqrt[3]{2} (\cos (120) + i \sin (120))$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\sqrt[3]{2} (- \cos (60) + i \sin (120))$

Paso 1.2

El valor exacto de $\cos (60)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt[3]{2} (- \frac{1}{2} + i \sin (120))$

Paso 1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\sqrt[3]{2} (- \frac{1}{2} + i \sin (60))$

Paso 1.4

El valor exacto de $\sin (60)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt[3]{2} (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 1.5

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt[3]{2} (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt[3]{2} (- \frac{1}{2}) + \sqrt[3]{2} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.2

Combina $\sqrt[3]{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \sqrt[3]{2} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3

Multiplica $\sqrt[3]{2} \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 3.1

Combina $\sqrt[3]{2}$ y $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} (i \sqrt{3})}{2}$

Paso 3.2

Reescribe la expresión con el índice menos común de $6$ .

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Paso 3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{3^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2} i}{2}$

Paso 3.2.2

Reescribe $3^{\frac{1}{2}}$ como $3^{\frac{3}{6}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{3^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{2} i}{2}$

Paso 3.2.3

Reescribe $3^{\frac{3}{6}}$ como $\sqrt[6]{3^{3}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3^{3}} \sqrt[3]{2} i}{2}$

Paso 3.2.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3^{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} i}{2}$

Paso 3.2.5

Reescribe $2^{\frac{1}{3}}$ como $2^{\frac{2}{6}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3^{3}} \cdot 2^{\frac{2}{6}} i}{2}$

Paso 3.2.6

Reescribe $2^{\frac{2}{6}}$ como $\sqrt[6]{2^{2}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3^{3}} \sqrt[6]{2^{2}} i}{2}$

Paso 3.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3^{3} \cdot 2^{2}} i}{2}$

Paso 3.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{27 \cdot 2^{2}} i}{2}$

Paso 3.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{27 \cdot 4} i}{2}$

Paso 3.6

Multiplica $27$ por $4$ .

$- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{108} i}{2}$