Álgebra Ejemplos

${(\sqrt{3} (\cos (\frac{5 π}{12}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{5 π}{12})$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 1.1.1

Divide $\frac{5 π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

${(\sqrt{3} (\cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Paso 1.1.2

Aplica la suma de la razón de los ángulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

${(\sqrt{3} (\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Paso 1.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Paso 1.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Paso 1.1.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Paso 1.1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Paso 1.1.7

Simplifica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.1.7.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Paso 1.1.7.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Paso 1.1.7.1.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Paso 1.1.7.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Paso 1.1.7.1.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.1.7.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Paso 1.1.7.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Paso 1.1.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Paso 1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{5 π}{12})$ es $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Paso 1.2.1

Divide $\frac{5 π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})))}^{4}$

Paso 1.2.2

Aplica la suma de la razón de los ángulos.

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))))}^{4}$

Paso 1.2.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))))}^{4}$

Paso 1.2.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))))}^{4}$

Paso 1.2.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4}))))}^{4}$

Paso 1.2.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})))}^{4}$

Paso 1.2.7

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.7.1.1

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.2.7.1.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})))}^{4}$

Paso 1.2.7.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})))}^{4}$

Paso 1.2.7.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.2.7.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})))}^{4}$

Paso 1.2.7.1.2.2

Combina con la regla del producto para radicales.

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})))}^{4}$

Paso 1.2.7.1.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})))}^{4}$

Paso 1.2.7.1.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})))}^{4}$

Paso 1.2.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}))}^{4}$

Paso 1.3

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{i (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}))}^{4}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(\sqrt{3} \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6}}{4})}^{4}$

Paso 2.2

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6}}{4}$ .

${(\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}{4})}^{4}$

Paso 3

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}{4}$ .

$\frac{{(\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6}))}^{4}}{4^{4}}$

Paso 3.2

Aplica la regla del producto a $\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{4} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

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Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

Paso 4.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

Paso 4.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{3^{\frac{4}{2}} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

Paso 4.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

Paso 4.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

Paso 4.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3^{\frac{2}{1}} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

Paso 4.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{3^{2} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

Paso 4.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{9 {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

Paso 5

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$\frac{9 {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{256}$