Álgebra Ejemplos

$60 x^{4} + 86 x^{3} - 46 x^{2} - 43 x + 8$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reagrupa los términos.

$86 x^{3} - 43 x + 60 x^{4} - 46 x^{2} + 8 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $43 x$ de $86 x^{3} - 43 x$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $43 x$ de $86 x^{3}$ .

$43 x (2 x^{2}) - 43 x + 60 x^{4} - 46 x^{2} + 8 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $43 x$ de $- 43 x$ .

$43 x (2 x^{2}) + 43 x (- 1) + 60 x^{4} - 46 x^{2} + 8 = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $43 x$ de $43 x (2 x^{2}) + 43 x (- 1)$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 60 x^{4} - 46 x^{2} + 8 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $2$ de $60 x^{4} - 46 x^{2} + 8$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $2$ de $60 x^{4}$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 x^{4}) - 46 x^{2} + 8 = 0$

Paso 1.3.2

Factoriza $2$ de $- 46 x^{2}$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 x^{4}) + 2 (- 23 x^{2}) + 8 = 0$

Paso 1.3.3

Factoriza $2$ de $8$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 x^{4}) + 2 (- 23 x^{2}) + 2 (4) = 0$

Paso 1.3.4

Factoriza $2$ de $2 (30 x^{4}) + 2 (- 23 x^{2})$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 x^{4} - 23 x^{2}) + 2 (4) = 0$

Paso 1.3.5

Factoriza $2$ de $2 (30 x^{4} - 23 x^{2}) + 2 (4)$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 x^{4} - 23 x^{2} + 4) = 0$

Paso 1.4

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 {(x^{2})}^{2} - 23 x^{2} + 4) = 0$

Paso 1.5

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 u^{2} - 23 u + 4) = 0$

Paso 1.6

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 30 \cdot 4 = 120$ y cuya suma es $b = - 23$ .

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Paso 1.6.1.1

Factoriza $- 23$ de $- 23 u$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 u^{2} - 23 u + 4) = 0$

Paso 1.6.1.2

Reescribe $- 23$ como $- 8$ más $- 15$

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 u^{2} + (- 8 - 15) u + 4) = 0$

Paso 1.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 u^{2} - 8 u - 15 u + 4) = 0$

Paso 1.6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 ((30 u^{2} - 8 u) - 15 u + 4) = 0$

Paso 1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (2 u (15 u - 4) - (15 u - 4)) = 0$

Paso 1.6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $15 u - 4$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 ((15 u - 4) (2 u - 1)) = 0$

Paso 1.7

Factoriza.

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Paso 1.7.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 ((15 x^{2} - 4) (2 x^{2} - 1)) = 0$

Paso 1.7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (15 x^{2} - 4) (2 x^{2} - 1) = 0$

Paso 1.8

Factoriza $2 x^{2} - 1$ de $43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (15 x^{2} - 4) (2 x^{2} - 1)$ .

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Paso 1.8.1

Factoriza $2 x^{2} - 1$ de $43 x (2 x^{2} - 1)$ .

$(2 x^{2} - 1) (43 x) + 2 (15 x^{2} - 4) (2 x^{2} - 1) = 0$

Paso 1.8.2

Factoriza $2 x^{2} - 1$ de $2 (15 x^{2} - 4) (2 x^{2} - 1)$ .

$(2 x^{2} - 1) (43 x) + (2 x^{2} - 1) (2 (15 x^{2} - 4)) = 0$

Paso 1.8.3

Factoriza $2 x^{2} - 1$ de $(2 x^{2} - 1) (43 x) + (2 x^{2} - 1) (2 (15 x^{2} - 4))$ .

$(2 x^{2} - 1) (43 x + 2 (15 x^{2} - 4)) = 0$

Paso 1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x^{2} - 1) (43 x + 2 (15 x^{2}) + 2 \cdot - 4) = 0$

Paso 1.10

Multiplica $15$ por $2$ .

$(2 x^{2} - 1) (43 x + 30 x^{2} + 2 \cdot - 4) = 0$

Paso 1.11

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$(2 x^{2} - 1) (43 x + 30 x^{2} - 8) = 0$

Paso 1.12

Reordena los términos.

$(2 x^{2} - 1) (30 x^{2} + 43 x - 8) = 0$

Paso 1.13

Factoriza.

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Paso 1.13.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.13.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 30 \cdot - 8 = - 240$ y cuya suma es $b = 43$ .

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Paso 1.13.1.1.1

Factoriza $43$ de $43 x$ .

$(2 x^{2} - 1) (30 x^{2} + 43 (x) - 8) = 0$

Paso 1.13.1.1.2

Reescribe $43$ como $- 5$ más $48$

$(2 x^{2} - 1) (30 x^{2} + (- 5 + 48) x - 8) = 0$

Paso 1.13.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x^{2} - 1) (30 x^{2} - 5 x + 48 x - 8) = 0$

Paso 1.13.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.13.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{2} - 1) ((30 x^{2} - 5 x) + 48 x - 8) = 0$

Paso 1.13.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(2 x^{2} - 1) (5 x (6 x - 1) + 8 (6 x - 1)) = 0$

Paso 1.13.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $6 x - 1$ .

$(2 x^{2} - 1) ((6 x - 1) (5 x + 8)) = 0$

Paso 1.13.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x^{2} - 1) (6 x - 1) (5 x + 8) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

$6 x - 1 = 0$

$5 x + 8 = 0$

Paso 3

Establece $2 x^{2} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $2 x^{2} - 1$ igual a $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $2 x^{2} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} = 1$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $2 x^{2} = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $2 x^{2} = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 3.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.2.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.2.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 3.2.4.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.2.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.2.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 3.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 3.2.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.2.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.2.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.2.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.2.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.2.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 3.2.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4

Establece $6 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $6 x - 1$ igual a $0$ .

$6 x - 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $6 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x = 1$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $6 x = 1$ por $6$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $6 x = 1$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{6}$

Paso 5

Establece $5 x + 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $5 x + 8$ igual a $0$ .

$5 x + 8 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $5 x + 8 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x = - 8$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $5 x = - 8$ por $5$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $5 x = - 8$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 8}{5}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 8}{5}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{5}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{8}{5}$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x^{2} - 1) (6 x - 1) (5 x + 8) = 0$ verdadera.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{6}, - \frac{8}{5}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{6}, - \frac{8}{5}$

Forma decimal:

$x = 0.70710678 \dots, - 0.70710678 \dots, 0.1\overline{6}, - 1.6$

Forma de número mixto:

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{6}, - 1 \frac{3}{5}$

Paso 8