Álgebra Ejemplos

$y = e^{x} \sqrt{x^{2} + 1}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.7

Diferencia.

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Paso 4.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.7.2

Combina fracciones.

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Paso 4.7.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x} (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.7.2.2

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.7.2.3

Combina $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.7.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.7.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.7.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.7.6

Simplifica los términos.

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Paso 4.7.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.7.6.2

Combina $2$ y $\frac{e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.7.6.3

Combina $\frac{2 e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{2 e^{x} x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.7.6.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 e^{x} x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.7.6.5

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 4.8

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} e^{x}$

Paso 4.9

Reordena ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ y $e^{x}$ .

$\frac{x e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.10

Para escribir $e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x e^{x} + e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.12

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.12.1

Mueve ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x e^{x} + e^{x} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.12.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x e^{x} + e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x e^{x} + e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.12.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x e^{x} + e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.12.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{x e^{x} + e^{x} {(x^{2} + 1)}^{1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13

Simplifica $e^{x} {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{x e^{x} + e^{x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14

Simplifica.

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Paso 4.14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x e^{x} + e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.14.2.1

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{x e^{x} + e^{x} x^{2} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14.2.2

Reordena los factores en $x e^{x} + e^{x} x^{2} + e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14.3

Reordena los términos.

$\frac{e^{x} x + e^{x} x^{2} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.14.4

Reordena los factores en $\frac{e^{x} x + e^{x} x^{2} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$