Álgebra Ejemplos

$2 + \frac{4}{5} + \frac{8}{25} + \frac{16}{125}$

Paso 1

Esta es una progresión geométrica porque hay una razón en común entre cada término. En este caso, multiplicar el término anterior en la progresión por $\frac{2}{5}$ da el término siguiente. En otras palabras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

progresión geométrica: $r = \frac{2}{5}$

Paso 2

Esta es la forma de una progresión geométrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Paso 3

Sustituye los valores de $a_{1} = 2$ y $r = \frac{2}{5}$ .

$a_{n} = 2 {(\frac{2}{5})}^{n - 1}$

Paso 4

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{5}$ .

$a_{n} = 2 \frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Paso 5

Multiplica $2 \frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$ .

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Paso 5.1

Combina $2$ y $\frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{2 \cdot 2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $2^{n - 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1

Multiplica $2$ por $2^{n - 1}$ .

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Paso 5.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{1} \cdot 2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Paso 5.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a_{n} = \frac{2^{1 + n - 1}}{5^{n - 1}}$

Paso 5.2.2

Combina los términos opuestos en $1 + n - 1$ .

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Paso 5.2.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{n + 0}}{5^{n - 1}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $n$ y $0$ .

$a_{n} = \frac{2^{n}}{5^{n - 1}}$

Paso 6

Esta es la fórmula para obtener la suma de los primeros términos $n$ de la progresión geométrica. Para evaluarla, obtén los valores de $r$ y $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Paso 7

Reemplaza las variables con los valores conocidos para obtener $S_{4}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{{(\frac{2}{5})}^{4} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{5}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{2^{4}}{5^{4}} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Paso 8.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{5^{4}} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Paso 8.3

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Paso 8.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{625}{625}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} - 1 \cdot \frac{625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Paso 8.5

Combina $- 1$ y $\frac{625}{625}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} + \frac{- 1 \cdot 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Paso 8.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16 - 1 \cdot 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Paso 8.7

Simplifica el numerador.

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Paso 8.7.1

Multiplica $- 1$ por $625$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16 - 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Paso 8.7.2

Resta $625$ de $16$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{- 609}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Paso 8.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Paso 9

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Paso 9.2

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Paso 9.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}}$

Paso 9.4

Simplifica el numerador.

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Paso 9.4.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2 - 5}{5}}$

Paso 9.4.2

Resta $5$ de $2$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{- 3}{5}}$

Paso 9.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{- \frac{3}{5}}$

Paso 10

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{609}{625}}{\frac{3}{5}}$

Paso 11

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{609}{625} \cdot \frac{5}{3})$

Paso 12

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.1

Factoriza $3$ de $609$ .

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{3 (203)}{625} \cdot \frac{5}{3})$

Paso 12.2

Cancela el factor común.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{3 \cdot 203}{625} \cdot \frac{5}{3})$

Paso 12.3

Reescribe la expresión.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{625} \cdot 5)$

Paso 13

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 13.1

Factoriza $5$ de $625$ .

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{5 (125)} \cdot 5)$

Paso 13.2

Cancela el factor común.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{5 \cdot 125} \cdot 5)$

Paso 13.3

Reescribe la expresión.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{203}{125}$

Paso 14

Multiplica $2 (\frac{203}{125})$ .

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Paso 14.1

Combina $2$ y $\frac{203}{125}$ .

$S_{4} = \frac{2 \cdot 203}{125}$

Paso 14.2

Multiplica $2$ por $203$ .

$S_{4} = \frac{406}{125}$