Álgebra Ejemplos

$\tan (- 75)$

Paso 1

Primero, divide el ángulo en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas. En este caso, $- 75$ se puede dividir en $60 - 135$ .

$\tan (60 - 135)$

Paso 2

Usa la fórmula de diferencia para la tangente para simplificar la expresión. La fórmula establece que $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (60) - \tan (135)}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

Paso 3

Elimina los paréntesis.

$\frac{\tan (60) - \tan (135)}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\tan (60)$ es $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - \tan (135)}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

Paso 4.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la tangente es negativa en el segundo cuadrante.

$\frac{\sqrt{3} - - \tan (45)}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

Paso 4.3

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - (- 1 \cdot 1)}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

Paso 4.4

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 4.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - - 1}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

Paso 4.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

El valor exacto de $\tan (60)$ es $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (135)}$

Paso 5.2

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} (- \tan (45))}$

Paso 5.3

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} (- 1 \cdot 1)}$

Paso 5.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot - 1}$

Paso 5.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - 1 \cdot \sqrt{3}}$

Paso 5.6

Reescribe $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$

Paso 6

Multiplica $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ por $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ por $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}$

Paso 7.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 7.3

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Reordena los términos.

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 8.2

Eleva $1 + \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 8.3

Eleva $1 + \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} {(1 + \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

Paso 8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Paso 8.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Paso 9

Reescribe ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 10

Expande $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 11

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 11.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 11.1.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 11.1.3

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 11.1.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}$

Paso 11.1.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}$

Paso 11.1.6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}$

Paso 11.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Paso 11.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 11.3

Suma $\sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 12

Cancela el factor común de $4 + 2 \sqrt{3}$ y $- 2$ .

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Paso 12.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Paso 12.2

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}$

Paso 12.3

Factoriza $2$ de $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}$

Paso 12.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$

Paso 13

Reescribe $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ como $- (2 + \sqrt{3})$ .

$- (2 + \sqrt{3})$

Paso 14

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

Paso 15

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 2 - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$- 3.73205080 \dots$