Álgebra Ejemplos

$f (x) = \sqrt{81 - x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{81 - x^{2}}$ como ${(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 81 - x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $81 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $81 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Paso 1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Paso 1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Paso 1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Paso 1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Paso 1.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Paso 1.1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Paso 1.1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(81 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(81 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Paso 1.1.7.3

Mueve ${(81 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Paso 1.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $81 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (81) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Paso 1.1.9

Como $81$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $81$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Paso 1.1.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Paso 1.1.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Paso 1.1.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x))$

Paso 1.1.13

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.13.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)$

Paso 1.1.13.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Paso 1.1.13.3

Combina $\frac{- 2}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.13.4

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.14.1

Factoriza $2$ de $2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 ({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 1.1.14.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.14.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{- x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x = 0$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 4.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{x}{\sqrt{{(81 - x^{2})}^{1}}}$

Paso 4.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$- \frac{x}{\sqrt{81 - x^{2}}}$

Paso 4.2

Establece el denominador en $\frac{x}{\sqrt{81 - x^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{81 - x^{2}} = 0$

Paso 4.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{81 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{81 - x^{2}}$ como ${(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.2.1

Simplifica ${({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(81 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.2

Simplifica.

$81 - x^{2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$81 - x^{2} = 0$

Paso 4.3.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.3.1

Resta $81$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 81$

Paso 4.3.3.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 81$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.3.3.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 81$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 81}{- 1}$

Paso 4.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 81}{- 1}$

Paso 4.3.3.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 81}{- 1}$

Paso 4.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.2.3.1

Divide $- 81$ por $- 1$ .

$x^{2} = 81$

Paso 4.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{81}$

Paso 4.3.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{81}$ .

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Paso 4.3.3.4.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{9^{2}}$

Paso 4.3.3.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 9$

Paso 4.3.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.3.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 9$

Paso 4.3.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 9$

Paso 4.3.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 9, - 9$

Paso 4.4

Establece el radicando en $\sqrt{81 - x^{2}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$81 - x^{2} < 0$

Paso 4.5

Resuelve $x$

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Paso 4.5.1

Resta $81$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} < - 81$

Paso 4.5.2

Divide cada término en $- x^{2} < - 81$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.5.2.1

Divide cada término de $- x^{2} < - 81$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 81}{- 1}$

Paso 4.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 81}{- 1}$

Paso 4.5.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} > \frac{- 81}{- 1}$

Paso 4.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.2.3.1

Divide $- 81$ por $- 1$ .

$x^{2} > 81$

Paso 4.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{81}$

Paso 4.5.4

Simplifica la ecuación.

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Paso 4.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.4.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | > \sqrt{81}$

Paso 4.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.4.2.1

Simplifica $\sqrt{81}$ .

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Paso 4.5.4.2.1.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$| x | > \sqrt{9^{2}}$

Paso 4.5.4.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | > | 9 |$

Paso 4.5.4.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $9$ es $9$ .

$| x | > 9$

Paso 4.5.5

Escribe $| x | > 9$ como una función definida por partes.

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Paso 4.5.5.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 4.5.5.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x > 9$

Paso 4.5.5.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 4.5.5.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x > 9$

Paso 4.5.5.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x > 9 & x \geq 0 \\ - x > 9 & x < 0 \end{cases}$

Paso 4.5.6

Obtén la intersección de $x > 9$ y $x \geq 0$ .

$x > 9$

Paso 4.5.7

Divide cada término en $- x > 9$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.5.7.1

Divide cada término de $- x > 9$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{9}{- 1}$

Paso 4.5.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.7.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{9}{- 1}$

Paso 4.5.7.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{9}{- 1}$

Paso 4.5.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.7.3.1

Divide $9$ por $- 1$ .

$x < - 9$

Paso 4.5.8

Obtén la unión de las soluciones.

$x < - 9$ o $x > 9$

Paso 4.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq - 9, x \geq 9$

$(- \infty, - 9] \cup [9, \infty)$

$x \leq - 9, x \geq 9$

$(- \infty, - 9] \cup [9, \infty)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 0) \cup (0, 9) \cup (9, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 9)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 10$ en la expresión.

$f' (- 10) = - \frac{- 10}{{(81 - {(- 10)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 10) = - \frac{- 10}{{(81 - 1 \cdot 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $100$ .

$f' (- 10) = - \frac{- 10}{{(81 - 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.1.2

Resta $100$ de $81$ .

$f' (- 10) = - \frac{- 10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 10) = \frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $\frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3

En $x = - 10$ la derivada es $\frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 9)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 9)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 9, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{9}{2}$ en la expresión.

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{- \frac{9}{2}}{{(81 - {(- \frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - {(- \frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.2.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2}))}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.2.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - ({(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}})))}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.2.1.2.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{9^{2}}{2^{2}}))}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.2.2.1.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Paso 7.2.2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{9^{2}}{2^{2}})))}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.2.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{9^{2}}{2^{2}}))}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.2.2.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 + {(- 1)}^{3} (\frac{9^{2}}{2^{2}}))}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.2.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - \frac{9^{2}}{2^{2}})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.2.2.1.4

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - \frac{81}{2^{2}})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.2.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.2.2.2

Para escribir $81$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.2.2.3

Combina $81$ y $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{81 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{81 \cdot 4 - 81}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.2.5.1

Multiplica $81$ por $4$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{324 - 81}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.2.2.5.2

Resta $81$ de $324$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{243}{4})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.2.2.6

Aplica la regla del producto a $\frac{243}{4}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}}})$

Paso 7.2.2.7

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}})$

Paso 7.2.2.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}}})$

Paso 7.2.2.7.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.7.3.1

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}}})$

Paso 7.2.2.7.3.2

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2}})$

Paso 7.2.2.7.4

Evalúa el exponente.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2}})$

Paso 7.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot (1 (\frac{2}{243^{\frac{1}{2}}})))$

Paso 7.2.4

Multiplica $\frac{2}{243^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{243^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{9}{2}$ al numerador.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (\frac{- 9}{2} \cdot \frac{2}{243^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.2.5.2

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (\frac{- 9}{2} \cdot \frac{2}{243^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.2.5.3

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{9}{2}) = - (- 9 \frac{1}{243^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7.2.6

Combina $- 9$ y $\frac{1}{243^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (- \frac{9}{2}) = - \frac{- 9}{243^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- \frac{9}{2}) = \frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.8

La respuesta final es $\frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.3

En $x = - \frac{9}{2}$ la derivada es $\frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 9, 0)$ .

Incremento en $(- 9, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 9)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{9}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{\frac{9}{2}}{{(81 - {(\frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{9}{2}) = - (\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{{(81 - {(\frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 8.2.2

Combina fracciones.

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Paso 8.2.2.1

Combinar.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9 \cdot 1}{2 {(81 - {(\frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.2.2

Multiplica $9$ por $1$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(81 - {(\frac{9}{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(81 - \frac{9^{2}}{2^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.3.1.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(81 - \frac{81}{2^{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.3.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(81 - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.3.2

Para escribir $81$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(81 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.3.3

Combina $81$ y $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(\frac{81 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(\frac{81 \cdot 4 - 81}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.5.1

Multiplica $81$ por $4$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(\frac{324 - 81}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.3.5.2

Resta $81$ de $324$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 {(\frac{243}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.3.6

Aplica la regla del producto a $\frac{243}{4}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}})}$

Paso 8.2.3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.3.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}})}$

Paso 8.2.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}})}$

Paso 8.2.3.7.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.3.7.3.1

Cancela el factor común.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}})}$

Paso 8.2.3.7.3.2

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2})}$

Paso 8.2.3.7.4

Evalúa el exponente.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{2 (\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2})}$

Paso 8.2.4

Combina $2$ y $\frac{243^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{\frac{2 \cdot 243^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Paso 8.2.5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.2.5.1

Reduce la expresión $\frac{2 \cdot 243^{\frac{1}{2}}}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.2.5.1.1

Cancela el factor común.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{\frac{2 \cdot 243^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Paso 8.2.5.1.2

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{\frac{243^{\frac{1}{2}}}{1}}$

Paso 8.2.5.2

Divide $243^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - \frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.6

La respuesta final es $- \frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.3

En $x = \frac{9}{2}$ la derivada es $- \frac{9}{243^{\frac{1}{2}}}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 9)$ .

Decrecimiento en $(0, 9)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(9, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $10$ en la expresión.

$f' (10) = - \frac{10}{{(81 - {(10)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$f' (10) = - \frac{10}{{(81 - 1 \cdot 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $100$ .

$f' (10) = - \frac{10}{{(81 - 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2.1.2

Resta $100$ de $81$ .

$f' (10) = - \frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.2.2

La respuesta final es $- \frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 9.3

En $x = 10$ la derivada es $- \frac{10}{{(- 19)}^{\frac{1}{2}}}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(9, \infty)$ .

Decrecimiento en $(9, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 9, 0)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 9), (0, 9), (9, \infty)$

Paso 11