Álgebra Ejemplos

$\frac{5 x^{2} + 20 x y + 20 y^{2}}{x^{2} - x y - 6 y^{2}}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Factoriza $5$ de $5 x^{2} + 20 x y + 20 y^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $5$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 20 x y + 20 y^{2}}{x^{2} - x y - 6 y^{2}}$

Paso 1.1.2

Factoriza $5$ de $20 x y$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 (4 x y) + 20 y^{2}}{x^{2} - x y - 6 y^{2}}$

Paso 1.1.3

Factoriza $5$ de $20 y^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 (4 x y) + 5 (4 y^{2})}{x^{2} - x y - 6 y^{2}}$

Paso 1.1.4

Factoriza $5$ de $5 (x^{2}) + 5 (4 x y)$ .

$\frac{5 (x^{2} + 4 x y) + 5 (4 y^{2})}{x^{2} - x y - 6 y^{2}}$

Paso 1.1.5

Factoriza $5$ de $5 (x^{2} + 4 x y) + 5 (4 y^{2})$ .

$\frac{5 (x^{2} + 4 x y + 4 y^{2})}{x^{2} - x y - 6 y^{2}}$

Paso 1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.2.1

Reescribe $4 y^{2}$ como ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2} + 4 x y + {(2 y)}^{2})}{x^{2} - x y - 6 y^{2}}$

Paso 1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x y = 2 \cdot x \cdot (2 y)$

Paso 1.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{5 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot (2 y) + {(2 y)}^{2})}{x^{2} - x y - 6 y^{2}}$

Paso 1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2 y$ .

$\frac{5 {(x + 2 y)}^{2}}{x^{2} - x y - 6 y^{2}}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 1 \cdot - 6 = - 6$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 2.1.1

Reordena los términos.

$\frac{5 {(x + 2 y)}^{2}}{x^{2} - 6 y^{2} - x y}$

Paso 2.1.2

Reordena $- 6 y^{2}$ y $- x y$ .

$\frac{5 {(x + 2 y)}^{2}}{x^{2} - x y - 6 y^{2}}$

Paso 2.1.3

Factoriza $- 1$ de $- x y$ .

$\frac{5 {(x + 2 y)}^{2}}{x^{2} - (x y) - 6 y^{2}}$

Paso 2.1.4

Reescribe $- 1$ como $2$ más $- 3$

$\frac{5 {(x + 2 y)}^{2}}{x^{2} + (2 - 3) (x y) - 6 y^{2}}$

Paso 2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 {(x + 2 y)}^{2}}{x^{2} + 2 (x y) - 3 (x y) - 6 y^{2}}$

Paso 2.1.6

Mueve los paréntesis.

$\frac{5 {(x + 2 y)}^{2}}{x^{2} + 2 x y - 3 x y - 6 y^{2}}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{5 {(x + 2 y)}^{2}}{(x^{2} + 2 x y) - 3 x y - 6 y^{2}}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{5 {(x + 2 y)}^{2}}{x (x + 2 y) - 3 y (x + 2 y)}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 2 y$ .

$\frac{5 {(x + 2 y)}^{2}}{(x + 2 y) (x - 3 y)}$

Paso 3

Cancela el factor común de ${(x + 2 y)}^{2}$ y $x + 2 y$ .

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Paso 3.1

Factoriza $x + 2 y$ de $5 {(x + 2 y)}^{2}$ .

$\frac{(x + 2 y) (5 (x + 2 y))}{(x + 2 y) (x - 3 y)}$

Paso 3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2 y) (5 (x + 2 y))}{(x + 2 y) (x - 3 y)}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5 (x + 2 y)}{x - 3 y}$