Álgebra Ejemplos

${(3 (\cos (30) + i \sin (30)))}^{2}$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (30)))}^{2}$

Paso 1.1.2

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}))}^{2}$

Paso 1.1.3

Combina $i$ y $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}))}^{2}$

Paso 1.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(3 \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \frac{i}{2})}^{2}$

Paso 1.2.2

Combina $3$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + 3 \frac{i}{2})}^{2}$

Paso 1.2.3

Combina $3$ y $\frac{i}{2}$ .

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})}^{2}$

Paso 1.2.4

Reescribe ${(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})}^{2}$ como $(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}) (\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})$ .

$(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}) (\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})$

Paso 2

Expande $(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}) (\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} (\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}) + \frac{3 i}{2} (\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} (\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 3.1.1.1

Multiplica $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ por $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3.1.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9 \sqrt{3} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3.1.1.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{2 \cdot 2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3.1.1.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{2 \cdot 2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3.1.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3.1.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{9 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3.1.1.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{9 {\sqrt{3}}^{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3.1.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9 \cdot 3^{1}}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{9 \cdot 3}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3.1.3

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{27}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3.1.4

Multiplica $\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$ .

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ por $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{27}{4} + \frac{3 \sqrt{3} (3 i)}{2 \cdot 2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2 \cdot 2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3.1.4.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3.1.5

Multiplica $\frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $\frac{3 i}{2}$ por $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3 i (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3.1.5.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Paso 3.1.6

Multiplica $\frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$ .

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Paso 3.1.6.1

Multiplica $\frac{3 i}{2}$ por $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{3 i (3 i)}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.6.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 i i}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.6.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 (i^{1} i)}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.6.4

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 (i^{1} i^{1})}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.6.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 i^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.6.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 i^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.6.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 i^{2}}{4}$

Paso 3.1.7

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 \cdot - 1}{4}$

Paso 3.1.8

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{- 9}{4}$

Paso 3.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} - \frac{9}{4}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{27 - 9}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4}$

Paso 3.3

Resta $9$ de $27$ .

$\frac{18}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4}$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$\frac{18}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4}$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{18}{4} + \frac{18 i \sqrt{3}}{4}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $18$ y $4$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{2 (9)}{4} + \frac{18 i \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} + \frac{18 i \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} + \frac{18 i \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{2} + \frac{18 i \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $18$ y $4$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $2$ de $18 i \sqrt{3}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 (9 i \sqrt{3})}{4}$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 (9 i \sqrt{3})}{2 (2)}$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{9}{2} + \frac{2 (9 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{2} + \frac{9 i \sqrt{3}}{2}$