Álgebra Ejemplos

$30$ , $- 10$ , $\frac{10}{3}$ , $- \frac{10}{9}$

Paso 1

Esta es una progresión geométrica porque hay una razón en común entre cada término. En este caso, multiplicar el término anterior en la progresión por $- \frac{1}{3}$ da el término siguiente. En otras palabras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

progresión geométrica: $r = - \frac{1}{3}$

Paso 2

Esta es la forma de una progresión geométrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Paso 3

Sustituye los valores de $a_{1} = 30$ y $r = - \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 30 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Paso 4

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 30 ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n - 1})$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 30 ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}})$

Paso 5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$a_{n} = 30 ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{3^{n - 1}})$

Paso 6

Combina ${(- 1)}^{n - 1}$ y $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = 30 \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Paso 7

Combina $30$ y $\frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{30 {(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Paso 8

Esta es la fórmula para obtener la suma de los primeros términos $n$ de la progresión geométrica. Para evaluarla, obtén los valores de $r$ y $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Paso 9

Reemplaza las variables con los valores conocidos para obtener $S_{5}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 10.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{3}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{{(- 1)}^{5} {(\frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Paso 10.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{{(- 1)}^{5} (\frac{1^{5}}{3^{5}}) - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Paso 10.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{1^{5}}{3^{5}} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Paso 10.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{1}{3^{5}} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Paso 10.4

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{1}{243} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Paso 10.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{1}{243} - 1 \cdot \frac{243}{243}}{- \frac{1}{3} - 1}$

Paso 10.6

Combina $- 1$ y $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{1}{243} + \frac{- 1 \cdot 243}{243}}{- \frac{1}{3} - 1}$

Paso 10.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{\frac{- 1 - 1 \cdot 243}{243}}{- \frac{1}{3} - 1}$

Paso 10.8

Simplifica el numerador.

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Paso 10.8.1

Multiplica $- 1$ por $243$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{\frac{- 1 - 243}{243}}{- \frac{1}{3} - 1}$

Paso 10.8.2

Resta $243$ de $- 1$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{\frac{- 244}{243}}{- \frac{1}{3} - 1}$

Paso 10.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{244}{243}}{- \frac{1}{3} - 1}$

Paso 11

Simplifica el denominador.

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Paso 11.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{244}{243}}{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 11.2

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{244}{243}}{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 11.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{244}{243}}{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 11.4

Simplifica el numerador.

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Paso 11.4.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{244}{243}}{\frac{- 1 - 3}{3}}$

Paso 11.4.2

Resta $3$ de $- 1$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{244}{243}}{\frac{- 4}{3}}$

Paso 11.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{244}{243}}{- \frac{4}{3}}$

Paso 12

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{\frac{244}{243}}{\frac{4}{3}}$

Paso 13

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{244}{243} \cdot \frac{3}{4})$

Paso 14

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 14.1

Factoriza $4$ de $244$ .

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{4 (61)}{243} \cdot \frac{3}{4})$

Paso 14.2

Cancela el factor común.

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{4 \cdot 61}{243} \cdot \frac{3}{4})$

Paso 14.3

Reescribe la expresión.

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{61}{243} \cdot 3)$

Paso 15

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 15.1

Factoriza $3$ de $243$ .

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{61}{3 (81)} \cdot 3)$

Paso 15.2

Cancela el factor común.

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{61}{3 \cdot 81} \cdot 3)$

Paso 15.3

Reescribe la expresión.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{61}{81}$

Paso 16

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 16.1

Factoriza $3$ de $30$ .

$S_{5} = 3 (10) \cdot \frac{61}{81}$

Paso 16.2

Factoriza $3$ de $81$ .

$S_{5} = 3 \cdot 10 \cdot \frac{61}{3 \cdot 27}$

Paso 16.3

Cancela el factor común.

$S_{5} = 3 \cdot 10 \cdot \frac{61}{3 \cdot 27}$

Paso 16.4

Reescribe la expresión.

$S_{5} = 10 \cdot \frac{61}{27}$

Paso 17

Combina $10$ y $\frac{61}{27}$ .

$S_{5} = \frac{10 \cdot 61}{27}$

Paso 18

Multiplica $10$ por $61$ .

$S_{5} = \frac{610}{27}$