Álgebra Ejemplos

$2 e^{- x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{- x^{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Paso 1.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = - 2 e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} x^{2}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = - 2 e^{- x^{2}} (2 x)$

Paso 1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.4.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = - 4 e^{- x^{2}} x$

Paso 1.3.4.2

Reordena los factores en $- 4 e^{- x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 4 x e^{- x^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x e^{- x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} (x e^{- x^{2}})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 4 (x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 4 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.8.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Paso 2.10

Multiplica $e^{- x^{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Paso 2.11

Simplifica.

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Paso 2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 4 e^{- x^{2}}$

Paso 2.11.2

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = 8 x^{2} e^{- x^{2}} - 4 e^{- x^{2}}$

Paso 2.11.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = 8 e^{- x^{2}} x^{2} - 4 e^{- x^{2}}$

Paso 2.11.4

Reordena los factores en $8 e^{- x^{2}} x^{2} - 4 e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 8 x^{2} e^{- x^{2}} - 4 e^{- x^{2}}$