Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2}}{15} - \frac{y^{2}}{5} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{15} - \frac{y^{2}}{5} = 1$

Paso 2

Esta es la ecuación ordinaria de una hipérbola. Úsala para determinar la excentricidad.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = \sqrt{15}$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 5

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{15})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Paso 6.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Paso 6.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Paso 6.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Paso 6.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Paso 6.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{15^{1} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Paso 6.1.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{15 + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Paso 6.1.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 6.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{15 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Paso 6.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{15}}$

Paso 6.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{15}}$

Paso 6.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{15}}$

Paso 6.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{15 + 5^{1}}}{\sqrt{15}}$

Paso 6.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{15 + 5}}{\sqrt{15}}$

Paso 6.1.3

Suma $15$ y $5$ .

$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{15}}$

Paso 6.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 6.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{\sqrt{15}}$

Paso 6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{\sqrt{15}}$

Paso 6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{15}}$

Paso 6.2

Combina $\sqrt{5}$ y $\sqrt{15}$ en un solo radical.

$2 \sqrt{\frac{5}{15}}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $5$ y $15$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$2 \sqrt{\frac{5 (1)}{15}}$

Paso 6.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $5$ de $15$ .

$2 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3}}$

Paso 6.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3}}$

Paso 6.3.2.3

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 6.4

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$2 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Paso 6.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 6.6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 6.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 6.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 6.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 6.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 6.7.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 6.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 6.7.6.5

Evalúa el exponente.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 6.8

Combina $2$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$1.15470053 \dots$

Paso 8