Álgebra Ejemplos

$x = h + r \cos (t)$ , $y = k + r \sin (t)$

Paso 1

Establece la ecuación paramétrica de $x (t)$ para resolver la ecuación de $t$ .

$x = h + r \cos (t)$

Paso 2

Reescribe la ecuación como $h + r \cos (t) = x$ .

$h + r \cos (t) = x$

Paso 3

Resta $h$ de ambos lados de la ecuación.

$r \cos (t) = x - h$

Paso 4

Divide cada término en $r \cos (t) = x - h$ por $r$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $r \cos (t) = x - h$ por $r$ .

$\frac{r \cos (t)}{r} = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $r$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{r \cos (t)}{r} = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Paso 4.2.1.2

Divide $\cos (t)$ por $1$ .

$\cos (t) = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (t) = \frac{x}{r} - \frac{h}{r}$

Paso 5

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $t$ del interior del coseno.

$t = \arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r})$

Paso 6

Reemplaza $t$ en la ecuación con $y$ para obtener la ecuación en términos de $x$ .

$y = k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$

Paso 7

Elimina los paréntesis.

$y = k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$

Paso 8

Simplifica $k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$ .

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}})$ , $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, 0)$ y el origen. Entonces $\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}})$ . Por lo tanto, $\sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$ es $\sqrt{1 - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$ .

$y = k + r \sqrt{1 - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$

Paso 8.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = k + r \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$

Paso 8.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{x}{r} - \frac{h}{r}$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))}$

Paso 8.1.4

Simplifica.

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Paso 8.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} - - \frac{h}{r})}$

Paso 8.1.4.2

Multiplica $- - \frac{h}{r}$ .

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Paso 8.1.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + 1 \frac{h}{r})}$

Paso 8.1.4.2.2

Multiplica $\frac{h}{r}$ por $1$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Paso 8.1.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = k + r \sqrt{(\frac{r}{r} + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Paso 8.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = k + r \sqrt{(\frac{r + x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Paso 8.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = k + r \sqrt{\frac{r + x - h}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Paso 8.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.8.1

Mueve $x$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{r - h + x}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Paso 8.1.8.2

Reordena $r$ y $- h$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Paso 8.1.9

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (\frac{r}{r} - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Paso 8.1.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (\frac{r - x}{r} + \frac{h}{r})}$

Paso 8.1.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{r - x + h}{r}}$

Paso 8.1.12

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.12.1

Mueve $- x$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{r + h - x}{r}}$

Paso 8.1.12.2

Reordena $r$ y $h$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{h + r - x}{r}}$

Paso 8.1.13

Multiplica $\frac{- h + r + x}{r}$ por $\frac{h + r - x}{r}$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r \cdot r}}$

Paso 8.1.14

Multiplica $r$ por $r$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r^{2}}}$

Paso 8.1.15

Reescribe $\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r^{2}}$ como ${(\frac{1}{r})}^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))$ .

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Paso 8.1.15.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(- h + r + x) (h + r - x)$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2}}}$

Paso 8.1.15.2

Factoriza la potencia perfecta $r^{2}$ de $r^{2}$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2} \cdot 1}}$

Paso 8.1.15.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2} \cdot 1}$ .

$y = k + r \sqrt{{(\frac{1}{r})}^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}$

Paso 8.1.16

Retira los términos de abajo del radical.

$y = k + r (\frac{1}{r} \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)})$

Paso 8.1.17

Combina $\frac{1}{r}$ y $\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$ .

$y = k + r \frac{\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}}{r}$

Paso 8.1.18

Cancela el factor común de $r$ .

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Paso 8.1.18.1

Cancela el factor común.

$y = k + r \frac{\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}}{r}$

Paso 8.1.18.2

Reescribe la expresión.

$y = k + \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$

Paso 8.2

Reordena $k$ y $\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$ .

$y = \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)} + k$