Álgebra Ejemplos

$\cot (- \frac{5 π}{12})$

Paso 1

Reemplaza $\cot (- \frac{5 π}{12})$ con una expresión equivalente $\frac{1}{\tan (- \frac{5 π}{12})}$ con las identidades fundamentales.

$\frac{1}{\tan (- \frac{5 π}{12})}$

Paso 2

Usa una fórmula de suma o diferencia en el denominador.

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Paso 2.1

Primero, divide el ángulo en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas. En este caso, $- \frac{5 π}{12}$ se puede dividir en $\frac{π}{3} - \frac{3 π}{4}$ .

$\frac{1}{\tan (\frac{π}{3} - \frac{3 π}{4})}$

Paso 2.2

Usa la fórmula de diferencia para la tangente para simplificar la expresión. La fórmula establece que $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{1}{\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{3 π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Paso 2.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{1}{\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{3 π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} - \tan (\frac{3 π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Paso 2.4.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la tangente es negativa en el segundo cuadrante.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Paso 2.4.3

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} - (- 1 \cdot 1)}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Paso 2.4.4

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 2.4.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Paso 2.4.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Paso 2.5

Simplifica el denominador.

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Paso 2.5.1

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{3 π}{4})}}$

Paso 2.5.2

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} (- \tan (\frac{π}{4}))}}$

Paso 2.5.3

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} (- 1 \cdot 1)}}$

Paso 2.5.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot - 1}}$

Paso 2.5.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - 1 \cdot \sqrt{3}}}$

Paso 2.5.6

Reescribe $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}}$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ por $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}}$

Paso 2.7

Combina fracciones.

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Paso 2.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ por $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}}$

Paso 2.7.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{1}{\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Paso 2.7.3

Simplifica.

$\frac{1}{\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Paso 2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.1

Reordena los términos.

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Paso 2.8.2

Eleva $1 + \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Paso 2.8.3

Eleva $1 + \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Paso 2.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}}$

Paso 2.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}}$

Paso 2.9

Reescribe ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Paso 2.10

Expande $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Paso 2.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Paso 2.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Paso 2.11

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Paso 2.11.1.3

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Paso 2.11.1.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}}$

Paso 2.11.1.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}}$

Paso 2.11.1.6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}}$

Paso 2.11.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}}$

Paso 2.11.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{1}{\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}}$

Paso 2.11.3

Suma $\sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}}$

Paso 2.12

Cancela el factor común de $4 + 2 \sqrt{3}$ y $- 2$ .

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Paso 2.12.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}}$

Paso 2.12.2

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}}$

Paso 2.12.3

Factoriza $2$ de $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Paso 2.12.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})}$

Paso 2.13

Reescribe $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ como $- (2 + \sqrt{3})$ .

$\frac{1}{- (2 + \sqrt{3})}$

Paso 2.14

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Paso 2.15

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$ por $\frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$ por $\frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})}$

Paso 3.3

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica.

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{1}$

Paso 3.5

Divide $- 2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 2 + \sqrt{3}$

Forma decimal:

$- 0.26794919 \dots$