Álgebra Ejemplos

$(2, 19)$ , $(6, 99)$ , $(- 1, 1)$

Paso 1

Usa la ecuación ordinaria de una ecuación cuadrática $y = a x^{2} + b x + c$ como el punto inicial para obtener la ecuación a través de los tres puntos.

$y = a x^{2} + b x + c$

Paso 2

Crea un sistema de ecuaciones mediante la sustitución de los valores $x$ y $y$ de cada punto en la fórmula estándar de una ecuación cuadrática para crear el sistema de tres ecuaciones.

$19 = a {(2)}^{2} + b (2) + c, 99 = a {(6)}^{2} + b (6) + c, 1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

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Paso 3.1

Resuelve $c$ en $19 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $a \cdot 2^{2} + b (2) + c = 19$ .

$a \cdot 2^{2} + b (2) + c = 19$

$99 = a \cdot 6^{2} + b (6) + c$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Paso 3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$a \cdot 4 + b (2) + c = 19$

$99 = a \cdot 6^{2} + b (6) + c$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Paso 3.1.2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $a$ .

$4 \cdot a + b (2) + c = 19$

$99 = a \cdot 6^{2} + b (6) + c$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Paso 3.1.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $b$ .

$4 a + 2 b + c = 19$

$99 = a \cdot 6^{2} + b (6) + c$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 a + 2 b + c = 19$

$99 = a \cdot 6^{2} + b (6) + c$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Paso 3.1.3

Mueve todos los términos que no contengan $c$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.3.1

Resta $4 a$ de ambos lados de la ecuación.

$2 b + c = 19 - 4 a$

$99 = a \cdot 6^{2} + b (6) + c$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Paso 3.1.3.2

Resta $2 b$ de ambos lados de la ecuación.

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$99 = a \cdot 6^{2} + b (6) + c$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$99 = a \cdot 6^{2} + b (6) + c$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$99 = a \cdot 6^{2} + b (6) + c$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $c$ por $19 - 4 a - 2 b$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $c$ en $99 = a \cdot 6^{2} + b (6) + c$ por $19 - 4 a - 2 b$ .

$99 = a \cdot 6^{2} + b (6) + 19 - 4 a - 2 b$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Paso 3.2.2

Simplifica $99 = a \cdot 6^{2} + b (6) + 19 - 4 a - 2 b$ .

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Paso 3.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$99 = a \cdot 6^{2} + b (6) + 19 - 4 a - 2 b$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$99 = a \cdot 6^{2} + b (6) + 19 - 4 a - 2 b$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.2.1

Simplifica $a \cdot 6^{2} + b (6) + 19 - 4 a - 2 b$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.2.1.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$99 = a \cdot 36 + b (6) + 19 - 4 a - 2 b$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Paso 3.2.2.2.1.1.2

Mueve $36$ a la izquierda de $a$ .

$99 = 36 \cdot a + b (6) + 19 - 4 a - 2 b$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Paso 3.2.2.2.1.1.3

Mueve $6$ a la izquierda de $b$ .

$99 = 36 a + 6 b + 19 - 4 a - 2 b$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$99 = 36 a + 6 b + 19 - 4 a - 2 b$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Paso 3.2.2.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.2.2.2.1.2.1

Resta $4 a$ de $36 a$ .

$99 = 32 a + 6 b + 19 - 2 b$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Paso 3.2.2.2.1.2.2

Resta $2 b$ de $6 b$ .

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $c$ en $1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$ por $19 - 4 a - 2 b$ .

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 19 - 4 a - 2 b$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.2.4

Simplifica $1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 19 - 4 a - 2 b$ .

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Paso 3.2.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.1.1

Elimina los paréntesis.

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 19 - 4 a - 2 b$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 19 - 4 a - 2 b$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.2.1

Simplifica $a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 19 - 4 a - 2 b$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.2.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 = a \cdot 1 + b (- 1) + 19 - 4 a - 2 b$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.2.4.2.1.1.2

Multiplica $a$ por $1$ .

$1 = a + b (- 1) + 19 - 4 a - 2 b$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.2.4.2.1.1.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $b$ .

$1 = a - 1 b + 19 - 4 a - 2 b$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.2.4.2.1.1.4

Reescribe $- 1 b$ como $- b$ .

$1 = a - b + 19 - 4 a - 2 b$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$1 = a - b + 19 - 4 a - 2 b$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.2.4.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.2.4.2.1.2.1

Resta $4 a$ de $a$ .

$1 = - 3 a - b + 19 - 2 b$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.2.4.2.1.2.2

Resta $2 b$ de $- b$ .

$1 = - 3 a - 3 b + 19$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$1 = - 3 a - 3 b + 19$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$1 = - 3 a - 3 b + 19$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$1 = - 3 a - 3 b + 19$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$1 = - 3 a - 3 b + 19$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$1 = - 3 a - 3 b + 19$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.3

Resuelve $a$ en $1 = - 3 a - 3 b + 19$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 3 a - 3 b + 19 = 1$ .

$- 3 a - 3 b + 19 = 1$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $a$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $3 b$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 a + 19 = 1 + 3 b$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.3.2.2

Resta $19$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 a = 1 + 3 b - 19$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.3.2.3

Resta $19$ de $1$ .

$- 3 a = 3 b - 18$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$- 3 a = 3 b - 18$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $- 3 a = 3 b - 18$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $- 3 a = 3 b - 18$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 a}{- 3} = \frac{3 b}{- 3} + \frac{- 18}{- 3}$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 a}{- 3} = \frac{3 b}{- 3} + \frac{- 18}{- 3}$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{3 b}{- 3} + \frac{- 18}{- 3}$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$a = \frac{3 b}{- 3} + \frac{- 18}{- 3}$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$a = \frac{3 b}{- 3} + \frac{- 18}{- 3}$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ y $- 3$ .

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Paso 3.3.3.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 b$ .

$a = \frac{3 (b)}{- 3} + \frac{- 18}{- 3}$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.3.3.3.1.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{b}{- 1}$ .

$a = - 1 \cdot b + \frac{- 18}{- 3}$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$a = - 1 \cdot b + \frac{- 18}{- 3}$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.3.3.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot b$ como $- b$ .

$a = - b + \frac{- 18}{- 3}$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.3.3.3.1.3

Divide $- 18$ por $- 3$ .

$a = - b + 6$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$a = - b + 6$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$a = - b + 6$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$a = - b + 6$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$a = - b + 6$

$99 = 32 a + 4 b + 19$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $a$ por $- b + 6$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $a$ en $99 = 32 a + 4 b + 19$ por $- b + 6$ .

$99 = 32 (- b + 6) + 4 b + 19$

$a = - b + 6$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Simplifica $32 (- b + 6) + 4 b + 19$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$99 = 32 (- b) + 32 \cdot 6 + 4 b + 19$

$a = - b + 6$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.4.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $32$ .

$99 = - 32 b + 32 \cdot 6 + 4 b + 19$

$a = - b + 6$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.4.2.1.1.3

Multiplica $32$ por $6$ .

$99 = - 32 b + 192 + 4 b + 19$

$a = - b + 6$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$99 = - 32 b + 192 + 4 b + 19$

$a = - b + 6$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.4.2.1.2.1

Suma $- 32 b$ y $4 b$ .

$99 = - 28 b + 192 + 19$

$a = - b + 6$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.4.2.1.2.2

Suma $192$ y $19$ .

$99 = - 28 b + 211$

$a = - b + 6$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$99 = - 28 b + 211$

$a = - b + 6$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$99 = - 28 b + 211$

$a = - b + 6$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

$99 = - 28 b + 211$

$a = - b + 6$

$c = 19 - 4 a - 2 b$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $a$ en $c = 19 - 4 a - 2 b$ por $- b + 6$ .

$c = 19 - 4 (- b + 6) - 2 b$

$99 = - 28 b + 211$

$a = - b + 6$

Paso 3.4.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.1

Simplifica $19 - 4 (- b + 6) - 2 b$ .

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Paso 3.4.4.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$c = 19 - 4 (- b) - 4 \cdot 6 - 2 b$

$99 = - 28 b + 211$

$a = - b + 6$

Paso 3.4.4.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$c = 19 + 4 b - 4 \cdot 6 - 2 b$

$99 = - 28 b + 211$

$a = - b + 6$

Paso 3.4.4.1.1.3

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$c = 19 + 4 b - 24 - 2 b$

$99 = - 28 b + 211$

$a = - b + 6$

$c = 19 + 4 b - 24 - 2 b$

$99 = - 28 b + 211$

$a = - b + 6$

Paso 3.4.4.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.1.2.1

Resta $24$ de $19$ .

$c = 4 b - 5 - 2 b$

$99 = - 28 b + 211$

$a = - b + 6$

Paso 3.4.4.1.2.2

Resta $2 b$ de $4 b$ .

$c = 2 b - 5$

$99 = - 28 b + 211$

$a = - b + 6$

$c = 2 b - 5$

$99 = - 28 b + 211$

$a = - b + 6$

$c = 2 b - 5$

$99 = - 28 b + 211$

$a = - b + 6$

$c = 2 b - 5$

$99 = - 28 b + 211$

$a = - b + 6$

$c = 2 b - 5$

$99 = - 28 b + 211$

$a = - b + 6$

Paso 3.5

Resuelve $b$ en $99 = - 28 b + 211$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $- 28 b + 211 = 99$ .

$- 28 b + 211 = 99$

$c = 2 b - 5$

$a = - b + 6$

Paso 3.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.2.1

Resta $211$ de ambos lados de la ecuación.

$- 28 b = 99 - 211$

$c = 2 b - 5$

$a = - b + 6$

Paso 3.5.2.2

Resta $211$ de $99$ .

$- 28 b = - 112$

$c = 2 b - 5$

$a = - b + 6$

$- 28 b = - 112$

$c = 2 b - 5$

$a = - b + 6$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $- 28 b = - 112$ por $- 28$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $- 28 b = - 112$ por $- 28$ .

$\frac{- 28 b}{- 28} = \frac{- 112}{- 28}$

$c = 2 b - 5$

$a = - b + 6$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 28$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 28 b}{- 28} = \frac{- 112}{- 28}$

$c = 2 b - 5$

$a = - b + 6$

Paso 3.5.3.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{- 112}{- 28}$

$c = 2 b - 5$

$a = - b + 6$

$b = \frac{- 112}{- 28}$

$c = 2 b - 5$

$a = - b + 6$

$b = \frac{- 112}{- 28}$

$c = 2 b - 5$

$a = - b + 6$

Paso 3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.3.1

Divide $- 112$ por $- 28$ .

$b = 4$

$c = 2 b - 5$

$a = - b + 6$

$b = 4$

$c = 2 b - 5$

$a = - b + 6$

$b = 4$

$c = 2 b - 5$

$a = - b + 6$

$b = 4$

$c = 2 b - 5$

$a = - b + 6$

Paso 3.6

Reemplaza todos los casos de $b$ por $4$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Reemplaza todos los casos de $b$ en $c = 2 b - 5$ por $4$ .

$c = 2 (4) - 5$

$b = 4$

$a = - b + 6$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.1

Simplifica $2 (4) - 5$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$c = 8 - 5$

$b = 4$

$a = - b + 6$

Paso 3.6.2.1.2

Resta $5$ de $8$ .

$c = 3$

$b = 4$

$a = - b + 6$

$c = 3$

$b = 4$

$a = - b + 6$

$c = 3$

$b = 4$

$a = - b + 6$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $b$ en $a = - b + 6$ por $4$ .

$a = - (4) + 6$

$c = 3$

$b = 4$

Paso 3.6.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.4.1

Simplifica $- (4) + 6$ .

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Paso 3.6.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$a = - 4 + 6$

$c = 3$

$b = 4$

Paso 3.6.4.1.2

Suma $- 4$ y $6$ .

$a = 2$

$c = 3$

$b = 4$

$a = 2$

$c = 3$

$b = 4$

$a = 2$

$c = 3$

$b = 4$

$a = 2$

$c = 3$

$b = 4$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$a = 2, c = 3, b = 4$

Paso 4

Sustituye los valores reales de $a$ , $b$ y $c$ en la fórmula para una ecuación cuadrática a fin de obtener la ecuación resultante.

$y = 2 x^{2} + 4 x + 3$

Paso 5