Álgebra Ejemplos

${(5 + 5 i)}^{5}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

$5^{5} + 5 \cdot 5^{4} (5 i) + 10 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{2} + 10 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{3} + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$3125 + 5 \cdot 5^{4} (5 i) + 10 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{2} + 10 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{3} + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.2

Multiplica $5$ por $5^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Multiplica $5$ por $5^{4}$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $1$ .

$3125 + 5^{1} \cdot 5^{4} (5 i) + 10 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{2} + 10 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{3} + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3125 + 5^{1 + 4} (5 i) + 10 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{2} + 10 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{3} + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.2.2

Suma $1$ y $4$ .

$3125 + 5^{5} (5 i) + 10 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{2} + 10 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{3} + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.3

Multiplica $5^{5}$ por $5$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.1

Mueve $5$ .

$3125 + 5 \cdot 5^{5} i + 10 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{2} + 10 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{3} + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.3.2

Multiplica $5$ por $5^{5}$ .

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Paso 2.1.3.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $1$ .

$3125 + 5^{1} \cdot 5^{5} i + 10 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{2} + 10 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{3} + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3125 + 5^{1 + 5} i + 10 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{2} + 10 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{3} + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.3.3

Suma $1$ y $5$ .

$3125 + 5^{6} i + 10 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{2} + 10 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{3} + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $6$ .

$3125 + 15625 i + 10 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{2} + 10 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{3} + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.5

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$3125 + 15625 i + 10 \cdot 125 {(5 i)}^{2} + 10 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{3} + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.6

Multiplica $10$ por $125$ .

$3125 + 15625 i + 1250 {(5 i)}^{2} + 10 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{3} + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.7

Aplica la regla del producto a $5 i$ .

$3125 + 15625 i + 1250 (5^{2} i^{2}) + 10 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{3} + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.8

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$3125 + 15625 i + 1250 (25 i^{2}) + 10 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{3} + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.9

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$3125 + 15625 i + 1250 (25 \cdot - 1) + 10 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{3} + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.10

Multiplica $1250 (25 \cdot - 1)$ .

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Paso 2.1.10.1

Multiplica $25$ por $- 1$ .

$3125 + 15625 i + 1250 \cdot - 25 + 10 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{3} + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.10.2

Multiplica $1250$ por $- 25$ .

$3125 + 15625 i - 31250 + 10 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{3} + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.11

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$3125 + 15625 i - 31250 + 10 \cdot 25 {(5 i)}^{3} + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.12

Multiplica $10$ por $25$ .

$3125 + 15625 i - 31250 + 250 {(5 i)}^{3} + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.13

Aplica la regla del producto a $5 i$ .

$3125 + 15625 i - 31250 + 250 (5^{3} i^{3}) + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.14

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$3125 + 15625 i - 31250 + 250 (125 i^{3}) + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.15

Factoriza $i^{2}$ .

$3125 + 15625 i - 31250 + 250 (125 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.16

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$3125 + 15625 i - 31250 + 250 (125 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.17

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$3125 + 15625 i - 31250 + 250 (125 (- i)) + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.18

Multiplica $- 1$ por $125$ .

$3125 + 15625 i - 31250 + 250 (- 125 i) + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.19

Multiplica $- 125$ por $250$ .

$3125 + 15625 i - 31250 - 31250 i + 5 \cdot 5 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.20

Multiplica $5$ por $5$ .

$3125 + 15625 i - 31250 - 31250 i + 25 {(5 i)}^{4} + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.21

Aplica la regla del producto a $5 i$ .

$3125 + 15625 i - 31250 - 31250 i + 25 (5^{4} i^{4}) + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.22

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$3125 + 15625 i - 31250 - 31250 i + 25 (625 i^{4}) + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.23

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.23.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$3125 + 15625 i - 31250 - 31250 i + 25 (625 {(i^{2})}^{2}) + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.23.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$3125 + 15625 i - 31250 - 31250 i + 25 (625 {(- 1)}^{2}) + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.23.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$3125 + 15625 i - 31250 - 31250 i + 25 (625 \cdot 1) + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.24

Multiplica $25 (625 \cdot 1)$ .

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Paso 2.1.24.1

Multiplica $625$ por $1$ .

$3125 + 15625 i - 31250 - 31250 i + 25 \cdot 625 + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.24.2

Multiplica $25$ por $625$ .

$3125 + 15625 i - 31250 - 31250 i + 15625 + {(5 i)}^{5}$

Paso 2.1.25

Aplica la regla del producto a $5 i$ .

$3125 + 15625 i - 31250 - 31250 i + 15625 + 5^{5} i^{5}$

Paso 2.1.26

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$3125 + 15625 i - 31250 - 31250 i + 15625 + 3125 i^{5}$

Paso 2.1.27

Factoriza $i^{4}$ .

$3125 + 15625 i - 31250 - 31250 i + 15625 + 3125 (i^{4} i)$

Paso 2.1.28

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.28.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$3125 + 15625 i - 31250 - 31250 i + 15625 + 3125 ({(i^{2})}^{2} i)$

Paso 2.1.28.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$3125 + 15625 i - 31250 - 31250 i + 15625 + 3125 ({(- 1)}^{2} i)$

Paso 2.1.28.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$3125 + 15625 i - 31250 - 31250 i + 15625 + 3125 (1 i)$

Paso 2.1.29

Multiplica $i$ por $1$ .

$3125 + 15625 i - 31250 - 31250 i + 15625 + 3125 i$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Resta $31250$ de $3125$ .

$- 28125 + 15625 i - 31250 i + 15625 + 3125 i$

Paso 2.2.2

Suma $- 28125$ y $15625$ .

$- 12500 + 15625 i - 31250 i + 3125 i$

Paso 2.2.3

Resta $31250 i$ de $15625 i$ .

$- 12500 - 15625 i + 3125 i$

Paso 2.2.4

Suma $- 15625 i$ y $3125 i$ .

$- 12500 - 12500 i$