Álgebra Ejemplos

$(0, 0)$ , $(0, 10)$ , $(0, - 6)$

Paso 1

Hay dos ecuaciones generales para una hipérbola.

Ecuación de hipérbola horizontal $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Ecuación de hipérbola vertical $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 2

$a$ es la distancia entre el vértice $(0, - 6)$ y el punto central $(0, 0)$ .

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Paso 2.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 2.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

$a = \sqrt{{(0 - 0)}^{2} + {((- 6) - 0)}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Resta $0$ de $0$ .

$a = \sqrt{0^{2} + {((- 6) - 0)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$a = \sqrt{0 + {((- 6) - 0)}^{2}}$

Paso 2.3.3

Resta $0$ de $- 6$ .

$a = \sqrt{0 + {(- 6)}^{2}}$

Paso 2.3.4

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{0 + 36}$

Paso 2.3.5

Suma $0$ y $36$ .

$a = \sqrt{36}$

Paso 2.3.6

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$a = \sqrt{6^{2}}$

Paso 2.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$a = 6$

Paso 3

$c$ es la distancia entre el enfoque $(0, 10)$ y el centro $(0, 0)$ .

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Paso 3.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 3.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

$c = \sqrt{{(0 - 0)}^{2} + {(10 - 0)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Resta $0$ de $0$ .

$c = \sqrt{0^{2} + {(10 - 0)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$c = \sqrt{0 + {(10 - 0)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Resta $0$ de $10$ .

$c = \sqrt{0 + 10^{2}}$

Paso 3.3.4

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$c = \sqrt{0 + 100}$

Paso 3.3.5

Suma $0$ y $100$ .

$c = \sqrt{100}$

Paso 3.3.6

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$c = \sqrt{10^{2}}$

Paso 3.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$c = 10$

Paso 4

Mediante la ecuación $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , sustituye $6$ por $a$ y $10$ por $c$ .

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como ${(6)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$ .

${(6)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$

Paso 4.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$36 + b^{2} = 10^{2}$

Paso 4.3

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$36 + b^{2} = 100$

Paso 4.4

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Resta $36$ de ambos lados de la ecuación.

$b^{2} = 100 - 36$

Paso 4.4.2

Resta $36$ de $100$ .

$b^{2} = 64$

Paso 4.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{64}$

Paso 4.6

Simplifica $\pm \sqrt{64}$ .

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Paso 4.6.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{8^{2}}$

Paso 4.6.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$b = \pm 8$

Paso 4.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$b = 8$

Paso 4.7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$b = - 8$

Paso 4.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$b = 8, - 8$

Paso 5

$b$ es una distancia, lo que significa que debe ser un número positivo.

$b = 8$

Paso 6

La pendiente de la línea entre el foco $(0, 10)$ y el centro $(0, 0)$ determina si la hipérbola es vertical u horizontal. Si la pendiente es $0$ , la gráfica es horizontal. Si la pendiente es indefinida, la gráfica es vertical.

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Paso 6.1

La pendiente es igual al cambio en $y$ sobre el cambio en $x$ , o elevación sobre avance.

$m = \frac{cambio en y}{cambio en x}$

Paso 6.2

El cambio en $x$ es igual a la diferencia en las coordenadas x (también llamada "avance") y el cambio en $y$ es igual a la diferencia en las coordenadas y (también llamada "elevación").

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Paso 6.3

Sustituye los valores de $x$ y $y$ en la ecuación para obtener la pendiente.

$m = \frac{0 - (10)}{0 - (0)}$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Resta $0$ de $0$ .

$\frac{0 - (10)}{0}$

Paso 6.4.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 6.5

La ecuación general para una hipérbola vertical es $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 7

Sustituye los valores $h = 0$ , $k = 0$ , $a = 6$ y $b = 8$ en $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$ para obtener la ecuación de la hipérbola $\frac{{(y - (0))}^{2}}{{(6)}^{2}} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(8)}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(y - (0))}^{2}}{{(6)}^{2}} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(8)}^{2}} = 1$

Paso 8

Simplifica para obtener la ecuación final de la hipérbola.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{{(y + 0)}^{2}}{6^{2}} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(8)}^{2}} = 1$

Paso 8.1.2

Suma $y$ y $0$ .

$\frac{y^{2}}{6^{2}} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(8)}^{2}} = 1$

Paso 8.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{y^{2}}{36} - \frac{{(x - (0))}^{2}}{{(8)}^{2}} = 1$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{y^{2}}{36} - \frac{{(x + 0)}^{2}}{8^{2}} = 1$

Paso 8.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{y^{2}}{36} - \frac{x^{2}}{8^{2}} = 1$

Paso 8.4

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{y^{2}}{36} - \frac{x^{2}}{64} = 1$

Paso 9