Álgebra Ejemplos

$3 e^{- x^{4}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 e^{- x^{4}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [e^{- x^{4}}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{- x^{4}})$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{4}$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x^{4}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{4}))$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{4}))$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{4}$ .

$f' (x) = 3 (e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (- x^{4}))$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} x^{4})$

Paso 1.3.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = - 3 e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} x^{4}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = - 3 e^{- x^{4}} (4 x^{3})$

Paso 1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.4.1

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$f' (x) = - 12 e^{- x^{4}} x^{3}$

Paso 1.3.4.2

Reordena los factores en $- 12 e^{- x^{4}} x^{3}$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} e^{- x^{4}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x^{3} e^{- x^{4}}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x^{4}})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = e^{- x^{4}}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{4}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x^{4}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{4})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{4})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{4}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (- x^{4})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} x^{4})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- (4 x^{3}))) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Paso 2.4.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- 4 x^{3})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Paso 2.5

Multiplica $x^{3}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} x^{3} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Paso 2.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 12 (x^{3 + 3} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Paso 2.5.3

Suma $3$ y $3$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{6} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Paso 2.6

Mueve $- 4$ a la izquierda de $e^{- x^{4}}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{6} (- 4 \cdot e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{6} (- 4 e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Paso 2.8

Simplifica.

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Paso 2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - 12 (x^{6} (- 4 e^{- x^{4}})) - 12 (e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Paso 2.8.2

Combina los términos.

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Paso 2.8.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 12$ .

$f'' (x) = 48 (x^{6} (e^{- x^{4}})) - 12 (e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Paso 2.8.2.2

Multiplica $3$ por $- 12$ .

$f'' (x) = 48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$

Paso 2.8.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = 48 e^{- x^{4}} x^{6} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$

Paso 2.8.4

Reordena los factores en $48 e^{- x^{4}} x^{6} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$ .

$f'' (x) = 48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 x^{2} e^{- x^{4}}$