Álgebra Ejemplos

${(5 + 5 i)}^{7}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

$5^{7} + 7 \cdot 5^{6} (5 i) + 21 \cdot 5^{5} {(5 i)}^{2} + 35 \cdot 5^{4} {(5 i)}^{3} + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $7$ .

$78125 + 7 \cdot 5^{6} (5 i) + 21 \cdot 5^{5} {(5 i)}^{2} + 35 \cdot 5^{4} {(5 i)}^{3} + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.2

Multiplica $5^{6}$ por $5$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Mueve $5$ .

$78125 + 7 \cdot (5 \cdot 5^{6}) i + 21 \cdot 5^{5} {(5 i)}^{2} + 35 \cdot 5^{4} {(5 i)}^{3} + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.2.2

Multiplica $5$ por $5^{6}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $1$ .

$78125 + 7 \cdot (5^{1} \cdot 5^{6}) i + 21 \cdot 5^{5} {(5 i)}^{2} + 35 \cdot 5^{4} {(5 i)}^{3} + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$78125 + 7 \cdot 5^{1 + 6} i + 21 \cdot 5^{5} {(5 i)}^{2} + 35 \cdot 5^{4} {(5 i)}^{3} + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.2.3

Suma $1$ y $6$ .

$78125 + 7 \cdot 5^{7} i + 21 \cdot 5^{5} {(5 i)}^{2} + 35 \cdot 5^{4} {(5 i)}^{3} + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $7$ .

$78125 + 7 \cdot 78125 i + 21 \cdot 5^{5} {(5 i)}^{2} + 35 \cdot 5^{4} {(5 i)}^{3} + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.4

Multiplica $7$ por $78125$ .

$78125 + 546875 i + 21 \cdot 5^{5} {(5 i)}^{2} + 35 \cdot 5^{4} {(5 i)}^{3} + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.5

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$78125 + 546875 i + 21 \cdot 3125 {(5 i)}^{2} + 35 \cdot 5^{4} {(5 i)}^{3} + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.6

Multiplica $21$ por $3125$ .

$78125 + 546875 i + 65625 {(5 i)}^{2} + 35 \cdot 5^{4} {(5 i)}^{3} + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.7

Aplica la regla del producto a $5 i$ .

$78125 + 546875 i + 65625 (5^{2} i^{2}) + 35 \cdot 5^{4} {(5 i)}^{3} + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.8

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$78125 + 546875 i + 65625 (25 i^{2}) + 35 \cdot 5^{4} {(5 i)}^{3} + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.9

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$78125 + 546875 i + 65625 (25 \cdot - 1) + 35 \cdot 5^{4} {(5 i)}^{3} + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.10

Multiplica $65625 (25 \cdot - 1)$ .

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Paso 2.1.10.1

Multiplica $25$ por $- 1$ .

$78125 + 546875 i + 65625 \cdot - 25 + 35 \cdot 5^{4} {(5 i)}^{3} + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.10.2

Multiplica $65625$ por $- 25$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 + 35 \cdot 5^{4} {(5 i)}^{3} + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.11

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 + 35 \cdot 625 {(5 i)}^{3} + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.12

Multiplica $35$ por $625$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 + 21875 {(5 i)}^{3} + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.13

Aplica la regla del producto a $5 i$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 + 21875 (5^{3} i^{3}) + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.14

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 + 21875 (125 i^{3}) + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.15

Factoriza $i^{2}$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 + 21875 (125 (i^{2} \cdot i)) + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.16

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 + 21875 (125 (- 1 \cdot i)) + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.17

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 + 21875 (125 (- i)) + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.18

Multiplica $- 1$ por $125$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 + 21875 (- 125 i) + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.19

Multiplica $- 125$ por $21875$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 35 \cdot 5^{3} {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.20

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 35 \cdot 125 {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.21

Multiplica $35$ por $125$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 4375 {(5 i)}^{4} + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.22

Aplica la regla del producto a $5 i$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 4375 (5^{4} i^{4}) + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.23

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 4375 (625 i^{4}) + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.24

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.24.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 4375 (625 {(i^{2})}^{2}) + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.24.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 4375 (625 {(- 1)}^{2}) + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.24.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 4375 (625 \cdot 1) + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.25

Multiplica $4375 (625 \cdot 1)$ .

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Paso 2.1.25.1

Multiplica $625$ por $1$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 4375 \cdot 625 + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.25.2

Multiplica $4375$ por $625$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 21 \cdot 5^{2} {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.26

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 21 \cdot 25 {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.27

Multiplica $21$ por $25$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 525 {(5 i)}^{5} + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.28

Aplica la regla del producto a $5 i$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 525 (5^{5} i^{5}) + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.29

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 525 (3125 i^{5}) + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.30

Factoriza $i^{4}$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 525 (3125 (i^{4} i)) + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.31

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.31.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 525 (3125 ({(i^{2})}^{2} i)) + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.31.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 525 (3125 ({(- 1)}^{2} i)) + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.31.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 525 (3125 (1 i)) + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.32

Multiplica $i$ por $1$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 525 (3125 i) + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.33

Multiplica $3125$ por $525$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i + 7 \cdot 5 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.34

Multiplica $7$ por $5$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i + 35 {(5 i)}^{6} + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.35

Aplica la regla del producto a $5 i$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i + 35 (5^{6} i^{6}) + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.36

Eleva $5$ a la potencia de $6$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i + 35 (15625 i^{6}) + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.37

Factoriza $i^{4}$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i + 35 (15625 (i^{4} i^{2})) + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.38

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.38.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i + 35 (15625 ({(i^{2})}^{2} i^{2})) + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.38.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i + 35 (15625 ({(- 1)}^{2} i^{2})) + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.38.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i + 35 (15625 (1 i^{2})) + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.39

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i + 35 (15625 i^{2}) + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.40

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i + 35 (15625 \cdot - 1) + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.41

Multiplica $35 (15625 \cdot - 1)$ .

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Paso 2.1.41.1

Multiplica $15625$ por $- 1$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i + 35 \cdot - 15625 + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.41.2

Multiplica $35$ por $- 15625$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i - 546875 + {(5 i)}^{7}$

Paso 2.1.42

Aplica la regla del producto a $5 i$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i - 546875 + 5^{7} i^{7}$

Paso 2.1.43

Eleva $5$ a la potencia de $7$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i - 546875 + 78125 i^{7}$

Paso 2.1.44

Reescribe $i^{7}$ como $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.44.1

Factoriza $i^{4}$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i - 546875 + 78125 (i^{4} i^{3})$

Paso 2.1.44.2

Factoriza $i^{2}$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i - 546875 + 78125 (i^{4} (i^{2} \cdot i))$

Paso 2.1.45

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.45.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i - 546875 + 78125 ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Paso 2.1.45.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i - 546875 + 78125 ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Paso 2.1.45.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i - 546875 + 78125 (1 (i^{2} \cdot i))$

Paso 2.1.46

Multiplica $i^{2} \cdot i$ por $1$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i - 546875 + 78125 (i^{2} \cdot i)$

Paso 2.1.47

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i - 546875 + 78125 (- 1 \cdot i)$

Paso 2.1.48

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i - 546875 + 78125 (- i)$

Paso 2.1.49

Multiplica $- 1$ por $78125$ .

$78125 + 546875 i - 1640625 - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i - 546875 - 78125 i$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Resta $1640625$ de $78125$ .

$- 1562500 + 546875 i - 2734375 i + 2734375 + 1640625 i - 546875 - 78125 i$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Suma $- 1562500$ y $2734375$ .

$1171875 + 546875 i - 2734375 i + 1640625 i - 546875 - 78125 i$

Paso 2.2.2.2

Resta $546875$ de $1171875$ .

$625000 + 546875 i - 2734375 i + 1640625 i - 78125 i$

Paso 2.2.3

Resta $2734375 i$ de $546875 i$ .

$625000 - 2187500 i + 1640625 i - 78125 i$

Paso 2.2.4

Suma $- 2187500 i$ y $1640625 i$ .

$625000 - 546875 i - 78125 i$

Paso 2.2.5

Resta $78125 i$ de $- 546875 i$ .

$625000 - 625000 i$