Álgebra Ejemplos

$3 x^{2} + 4 x = y$ , $[0, 100]$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $y = 3 x^{2} + 4 x$ .

$y = 3 x^{2} + 4 x$

Paso 2

Según el teorema de valor medio, si $f$ es una función continua con valor real en el intervalo $[a, b]$ y $u$ es un número entre $f (a)$ y $f (b)$ , entonces hay una $c$ contenida en el intervalo $[a, b]$ de tal modo que $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Calcula $f (a) = f (0) = 3 {(0)}^{2} + 4 (0)$ .

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 + 4 (0)$

Paso 4.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 4 (0)$

Paso 4.1.3

Multiplica $4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 4.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 5

Calcula $f (b) = f (100) = 3 {(100)}^{2} + 4 (100)$ .

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Eleva $100$ a la potencia de $2$ .

$f (100) = 3 \cdot 10000 + 4 (100)$

Paso 5.1.2

Multiplica $3$ por $10000$ .

$f (100) = 30000 + 4 (100)$

Paso 5.1.3

Multiplica $4$ por $100$ .

$f (100) = 30000 + 400$

Paso 5.2

Suma $30000$ y $400$ .

$f (100) = 30400$

Paso 6

Como $0$ está en el intervalo $[0, 30400]$ , resuelve la ecuación en $x$ en la raíz mediante el establecimiento de $y$ a $0$ en $y = 3 x^{2} + 4 x$ .

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $3 x^{2} + 4 x = 0$ .

$3 x^{2} + 4 x = 0$

Paso 6.2

Factoriza $x$ de $3 x^{2} + 4 x$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$x (3 x) + 4 x = 0$

Paso 6.2.2

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$x (3 x) + x \cdot 4 = 0$

Paso 6.2.3

Factoriza $x$ de $x (3 x) + x \cdot 4$ .

$x (3 x + 4) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 x + 4 = 0$

Paso 6.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.5

Establece $3 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece $3 x + 4$ igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Paso 6.5.2

Resuelve $3 x + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.5.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 4$

Paso 6.5.2.2

Divide cada término en $3 x = - 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 6.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 6.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Paso 6.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{4}{3}$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (3 x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{4}{3}$

Paso 7

Según el teorema de valor medio, hay una raíz $f (c) = 0$ en el intervalo $[0, 30400]$ porque $f$ es una función continua en $[0, 100]$ .

Las raíces en el intervalo $[0, 100]$ se ubican en $x = 0$ .

Paso 8