Álgebra Ejemplos

$y x^{2} + x = 6 + 4 y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y x^{2} + x) = \frac{d}{d x} (6 + 4 y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y x^{2} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [y x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y$ y $g (x) = x^{2}$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y (2 x) + x^{2} y' + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$2 y x + x^{2} y' + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 y x + x^{2} y' + 1$

Paso 2.3.2

Reordena los términos.

$2 x y + x^{2} y' + 1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 + 4 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 3.1.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

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Paso 3.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 + 4 y'$

Paso 3.3

Suma $0$ y $4 y'$ .

$4 y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x y + x^{2} y' + 1 = 4 y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $4 y'$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y + x^{2} y' + 1 - 4 y' = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y' + 1 - 4 y' = - 2 x y$

Paso 5.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y' - 4 y' = - 2 x y - 1$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $x^{2} y' - 4 y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} - 4 y' = - 2 x y - 1$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $- 4 y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot - 4 = - 2 x y - 1$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' x^{2} + y' \cdot - 4$ .

$y' (x^{2} - 4) = - 2 x y - 1$

Paso 5.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y' (x^{2} - 2^{2}) = - 2 x y - 1$

Paso 5.5

Factoriza.

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Paso 5.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$y' ((x + 2) (x - 2)) = - 2 x y - 1$

Paso 5.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y' (x + 2) (x - 2) = - 2 x y - 1$

Paso 5.6

Divide cada término en $y' (x + 2) (x - 2) = - 2 x y - 1$ por $(x + 2) (x - 2)$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $y' (x + 2) (x - 2) = - 2 x y - 1$ por $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 5.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 5.6.2.2

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 5.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 5.6.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 5.6.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$