Álgebra Ejemplos

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Paso 1

Esta es una progresión geométrica porque hay una razón en común entre cada término. En este caso, multiplicar el término anterior en la progresión por $- \frac{1}{2}$ da el término siguiente. En otras palabras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

progresión geométrica: $r = - \frac{1}{2}$

Paso 2

Esta es la forma de una progresión geométrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Paso 3

Sustituye los valores de $a_{1} = 1$ y $r = - \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = 1 {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$

Paso 4

Multiplica ${(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$ por $1$ .

$a_{n} = {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$

Paso 5

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Paso 5.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Paso 6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{2^{n - 1}}$

Paso 7

Combina ${(- 1)}^{n - 1}$ y $\frac{1}{2^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Paso 8

Esta es la fórmula para obtener la suma de los primeros términos $n$ de la progresión geométrica. Para evaluarla, obtén los valores de $r$ y $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Paso 9

Reemplaza las variables con los valores conocidos para obtener $S_{4}$ .

$S_{4} = 1 \cdot \frac{{(- \frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Paso 10

Multiplica $\frac{{(- \frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$ por $1$ .

$S_{4} = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Paso 11

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $2$ .

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{{(- \frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{2}{2} \cdot \frac{{(- \frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Paso 11.2

Combinar.

$S_{4} = \frac{2 ({(- \frac{1}{2})}^{4} - 1)}{2 (- \frac{1}{2} - 1)}$

Paso 12

Aplica la propiedad distributiva.

$S_{4} = \frac{2 {(- \frac{1}{2})}^{4} + 2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

Paso 13

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$S_{4} = \frac{2 {(- \frac{1}{2})}^{4} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{- 1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

Paso 13.2

Cancela el factor común.

$S_{4} = \frac{2 {(- \frac{1}{2})}^{4} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{- 1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

Paso 13.3

Reescribe la expresión.

$S_{4} = \frac{2 {(- \frac{1}{2})}^{4} + 2 \cdot - 1}{- 1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 14

Simplifica el numerador.

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Paso 14.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 14.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$S_{4} = \frac{2 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) + 2 \cdot - 1}{- 1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 14.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$S_{4} = \frac{2 ({(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}})) + 2 \cdot - 1}{- 1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 14.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$S_{4} = \frac{2 (1 (\frac{1^{4}}{2^{4}})) + 2 \cdot - 1}{- 1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 14.3

Multiplica $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$S_{4} = \frac{2 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) + 2 \cdot - 1}{- 1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 14.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.4.1

Factoriza $2$ de $2^{4}$ .

$S_{4} = \frac{2 (\frac{1^{4}}{2 \cdot 2^{3}}) + 2 \cdot - 1}{- 1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 14.4.2

Cancela el factor común.

$S_{4} = \frac{2 (\frac{1^{4}}{2 \cdot 2^{3}}) + 2 \cdot - 1}{- 1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 14.4.3

Reescribe la expresión.

$S_{4} = \frac{\frac{1^{4}}{2^{3}} + 2 \cdot - 1}{- 1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 14.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$S_{4} = \frac{\frac{1}{2^{3}} + 2 \cdot - 1}{- 1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 14.6

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{8} + 2 \cdot - 1}{- 1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 14.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{8} - 2}{- 1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 14.8

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{8} - 2 \cdot \frac{8}{8}}{- 1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 14.9

Combina $- 2$ y $\frac{8}{8}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8}}{- 1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 14.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 2 \cdot 8}{8}}{- 1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 14.11

Simplifica el numerador.

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Paso 14.11.1

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 16}{8}}{- 1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 14.11.2

Resta $16$ de $1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{- 15}{8}}{- 1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 14.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{4} = \frac{- \frac{15}{8}}{- 1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 15

Simplifica el denominador.

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Paso 15.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{15}{8}}{- 1 - 2}$

Paso 15.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{15}{8}}{- 3}$

Paso 16

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$S_{4} = - \frac{15}{8} \cdot \frac{1}{- 3}$

Paso 17

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 17.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{15}{8}$ al numerador.

$S_{4} = \frac{- 15}{8} \cdot \frac{1}{- 3}$

Paso 17.2

Factoriza $3$ de $- 15$ .

$S_{4} = \frac{3 (- 5)}{8} \cdot \frac{1}{- 3}$

Paso 17.3

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$S_{4} = \frac{3 \cdot - 5}{8} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

Paso 17.4

Cancela el factor común.

$S_{4} = \frac{3 \cdot - 5}{8} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

Paso 17.5

Reescribe la expresión.

$S_{4} = \frac{- 5}{8} \cdot \frac{1}{- 1}$

Paso 18

Multiplica $\frac{- 5}{8}$ por $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{4} = \frac{- 5}{8 \cdot - 1}$

Paso 19

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- 5}{- 8}$

Paso 20

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$S_{4} = \frac{5}{8}$