Álgebra Ejemplos

$\frac{4 x^{5} + 17 x^{4} - 16 x^{3} - 5 x^{2} + x}{4 x^{2} + 21 x + 5}$

Paso 1

Divide con la división polinómica larga.

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{5}$ por el término de mayor orden en el divisor $4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{5} + 21 x^{4} + 5 x^{3}$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

Paso 1.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

Paso 1.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

Paso 1.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

Paso 1.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x^{4} - 21 x^{3} - 5 x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

Paso 1.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0$

Paso 1.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{2}$

$21 x$

$5$

$4 x^{5}$

$17 x^{4}$

$16 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$0$

$4 x^{5}$

$21 x^{4}$

$5 x^{3}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x^{4}$

$21 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0$

$x$

$0$

Paso 1.12

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x^{3} - x^{2} + \frac{x}{4 x^{2} + 21 x + 5}$

Paso 2

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 5 = 20$ y cuya suma es $b = 21$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $21$ de $21 x$ .

$\frac{x}{4 x^{2} + 21 (x) + 5}$

Paso 2.1.1.2

Reescribe $21$ como $1$ más $20$

$\frac{x}{4 x^{2} + (1 + 20) x + 5}$

Paso 2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x}{4 x^{2} + 1 x + 20 x + 5}$

Paso 2.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x}{4 x^{2} + x + 20 x + 5}$

Paso 2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x}{(4 x^{2} + x) + 20 x + 5}$

Paso 2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x}{x (4 x + 1) + 5 (4 x + 1)}$

Paso 2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x + 1$ .

$\frac{x}{(4 x + 1) (x + 5)}$

Paso 2.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{4 x + 1}$

Paso 2.3

$\frac{A}{4 x + 1} + \frac{B}{x + 5}$

Paso 2.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(4 x + 1) (x + 5)$ .

$\frac{x (4 x + 1) (x + 5)}{(4 x + 1) (x + 5)} = \frac{(A) (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $4 x + 1$ .

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Paso 2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (4 x + 1) (x + 5)}{(4 x + 1) (x + 5)} = \frac{(A) (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Paso 2.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $x + 5$ .

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Paso 2.6.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{(A) (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Paso 2.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.1

Cancela el factor común de $4 x + 1$ .

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Paso 2.7.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{A (4 x + 1) (x + 5)}{4 x + 1} + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Paso 2.7.1.2

Divide $(A) (x + 5)$ por $1$ .

$x = (A) (x + 5) + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Paso 2.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = A x + A \cdot 5 + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Paso 2.7.3

Mueve $5$ a la izquierda de $A$ .

$x = A x + 5 \cdot A + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Paso 2.7.4

Cancela el factor común de $x + 5$ .

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Paso 2.7.4.1

Cancela el factor común.

$x = A x + 5 A + \frac{(B) (4 x + 1) (x + 5)}{x + 5}$

Paso 2.7.4.2

Divide $(B) (4 x + 1)$ por $1$ .

$x = A x + 5 A + (B) (4 x + 1)$

Paso 2.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x = A x + 5 A + B (4 x) + B \cdot 1$

Paso 2.7.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = A x + 5 A + 4 B x + B \cdot 1$

Paso 2.7.7

Multiplica $B$ por $1$ .

$x = A x + 5 A + 4 B x + B$

Paso 2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.1

Mueve $B$ .

$x = A x + 5 A + 4 x B + B$

Paso 2.8.2

Mueve $5 A$ .

$x = A x + 4 x B + 5 A + B$

Paso 3

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + 4 B$

Paso 3.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = 5 A + B$

Paso 3.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + 4 B$

$0 = 5 A + B$

$1 = A + 4 B$

$0 = 5 A + B$

Paso 4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.1

Resuelve $A$ en $1 = A + 4 B$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe la ecuación como $A + 4 B = 1$ .

$A + 4 B = 1$

$0 = 5 A + B$

Paso 4.1.2

Resta $4 B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 A + B$

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 A + B$

Paso 4.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - 4 B$ en cada ecuación.

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Paso 4.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = 5 A + B$ por $1 - 4 B$ .

$0 = 5 (1 - 4 B) + B$

$A = 1 - 4 B$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica $5 (1 - 4 B) + B$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 = 5 \cdot 1 + 5 (- 4 B) + B$

$A = 1 - 4 B$

Paso 4.2.2.1.1.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$0 = 5 + 5 (- 4 B) + B$

$A = 1 - 4 B$

Paso 4.2.2.1.1.3

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$0 = 5 - 20 B + B$

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 - 20 B + B$

$A = 1 - 4 B$

Paso 4.2.2.1.2

Suma $- 20 B$ y $B$ .

$0 = 5 - 19 B$

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 - 19 B$

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 - 19 B$

$A = 1 - 4 B$

$0 = 5 - 19 B$

$A = 1 - 4 B$

Paso 4.3

Resuelve $B$ en $0 = 5 - 19 B$ .

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Paso 4.3.1

Reescribe la ecuación como $5 - 19 B = 0$ .

$5 - 19 B = 0$

$A = 1 - 4 B$

Paso 4.3.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- 19 B = - 5$

$A = 1 - 4 B$

Paso 4.3.3

Divide cada término en $- 19 B = - 5$ por $- 19$ y simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Divide cada término en $- 19 B = - 5$ por $- 19$ .

$\frac{- 19 B}{- 19} = \frac{- 5}{- 19}$

$A = 1 - 4 B$

Paso 4.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 19$ .

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Paso 4.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 19 B}{- 19} = \frac{- 5}{- 19}$

$A = 1 - 4 B$

Paso 4.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 5}{- 19}$

$A = 1 - 4 B$

$B = \frac{- 5}{- 19}$

$A = 1 - 4 B$

$B = \frac{- 5}{- 19}$

$A = 1 - 4 B$

Paso 4.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 - 4 B$

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 - 4 B$

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 - 4 B$

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 - 4 B$

Paso 4.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{5}{19}$ en cada ecuación.

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Paso 4.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 1 - 4 B$ por $\frac{5}{19}$ .

$A = 1 - 4 (\frac{5}{19})$

$B = \frac{5}{19}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica $1 - 4 (\frac{5}{19})$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1.1.1

Multiplica $- 4 (\frac{5}{19})$ .

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Paso 4.4.2.1.1.1.1

Combina $- 4$ y $\frac{5}{19}$ .

$A = 1 + \frac{- 4 \cdot 5}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Paso 4.4.2.1.1.1.2

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$A = 1 + \frac{- 20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 + \frac{- 20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Paso 4.4.2.1.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A = 1 - \frac{20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = 1 - \frac{20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Paso 4.4.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.2.1.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$A = \frac{19}{19} - \frac{20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Paso 4.4.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{19 - 20}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Paso 4.4.2.1.2.3

Resta $20$ de $19$ .

$A = \frac{- 1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Paso 4.4.2.1.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A = - \frac{1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = - \frac{1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = - \frac{1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = - \frac{1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

$A = - \frac{1}{19}$

$B = \frac{5}{19}$

Paso 4.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - \frac{1}{19}, B = \frac{5}{19}$

Paso 5

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $x^{3} - x^{2} + \frac{A}{4 x + 1} + \frac{B}{x + 5}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$x^{3} - x^{2} + \frac{- \frac{1}{19}}{4 x + 1} + \frac{\frac{5}{19}}{x + 5}$