Álgebra Ejemplos

$\tan (x) (\cot (x) + \tan (x)) = \sec^{2} (x)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\tan (x) (\cot (x) + \tan (x))$

Paso 2

Aplica la propiedad distributiva.

$\tan (x) \cot (x) + \tan (x) \tan (x)$

Paso 3

Multiplica $\tan (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \cot (x) + \tan^{2} (x)$

Paso 4

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$\tan (x) \cot (x) + \sec^{2} (x) - 1$

Paso 5

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 5.1

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cot (x) + \sec^{2} (x) - 1$

Paso 5.2

Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sec^{2} (x) - 1$

Paso 5.3

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1$

Paso 5.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 6.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Paso 6.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 6.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Paso 6.1.2.2

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Paso 6.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Paso 6.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 0$

Paso 6.3

Suma $\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ y $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 7

Reescribe $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ como $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Paso 8

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\tan (x) (\cot (x) + \tan (x)) = \sec^{2} (x)$ es una identidad