Álgebra Ejemplos

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1} = \tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1}$

Paso 2

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 2.1

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3} - 1}{\tan (x) - 1}$

Paso 2.2

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

Paso 2.3

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por ${\cos (x)}^{3}$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$ por $\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} \cdot \frac{\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

Paso 3.1.2

Combinar.

$\frac{{\cos (x)}^{3} (\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1)}{{\cos (x)}^{3} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1)}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{\cos (x)}^{3} \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Paso 3.3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de ${\cos (x)}^{3}$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{\cos (x)}^{3} \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $\cos (x)$ de ${\cos (x)}^{3}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{\cos (x) {\cos (x)}^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{\cos (x) {\cos (x)}^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Paso 3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Reescribe ${\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ como ${(\cos (x) \cdot - 1)}^{3}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{3}}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Paso 3.4.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = \sin (x)$ y $b = \cos (x) \cdot - 1$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x) \cdot - 1) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Paso 3.4.3

Simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - 1 \cdot \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Paso 3.4.3.2

Reescribe $- 1 \cos (x)$ como $- \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Paso 3.4.3.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (- 1 \cdot \cos (x)) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Paso 3.4.3.4

Reescribe $- 1 \cos (x)$ como $- \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (- \cos (x)) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Paso 3.4.3.5

Multiplica $- \sin (x) (- \cos (x))$ .

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Paso 3.4.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + 1 \sin (x) \cos (x) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Paso 3.4.3.5.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Paso 3.4.3.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- 1 \cdot \cos (x))}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Paso 3.4.3.7

Reescribe $- 1 \cos (x)$ como $- \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- \cos (x))}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Paso 3.4.3.8

Aplica la regla del producto a $- \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- 1)}^{2} {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Paso 3.4.3.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + 1 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Paso 3.4.3.10

Multiplica ${\cos (x)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Factoriza ${\cos (x)}^{2}$ de ${\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ .

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Paso 3.5.1.1

Factoriza ${\cos (x)}^{2}$ de ${\cos (x)}^{2} \sin (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

Paso 3.5.1.2

Factoriza ${\cos (x)}^{2}$ de ${\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{2} (\cos (x) \cdot - 1)}$

Paso 3.5.1.3

Factoriza ${\cos (x)}^{2}$ de ${\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{2} (\cos (x) \cdot - 1)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) + \cos (x) \cdot - 1)}$

Paso 3.5.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) - 1 \cdot \cos (x))}$

Paso 3.5.3

Reescribe $- 1 \cos (x)$ como $- \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) - \cos (x))}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $\sin (x) - \cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4

Reordena los términos.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 5

Reescribe $\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ como $\tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$ .

$\tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$

Paso 6

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1} = \tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$ es una identidad