Álgebra Ejemplos

$\sec (x) \csc (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\sec (x) \csc (x) (\tan (x) + \cot (x))$

Paso 2

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 2.1

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \csc (x) (\tan (x) + \cot (x))$

Paso 2.2

Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} (\tan (x) + \cot (x))$

Paso 2.3

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x))$

Paso 2.4

Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sin (x) \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.4

Multiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.5

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.6

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.9

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 3.9.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x) (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.9.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 3.10

Multiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x) \sin (x)}$

Paso 3.11

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Paso 3.12

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Paso 3.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Paso 3.14

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 4

Ahora considera el lado derecho de la ecuación.

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Paso 5

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 5.1

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \csc^{2} (x)$

Paso 5.2

Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Paso 5.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Paso 5.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Paso 6

Simplifica cada término.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 7

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\sec (x) \csc (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ es una identidad