Álgebra Ejemplos

$\sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) = \tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)$

Paso 1

Comienza por el lado derecho.

$\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)$

Paso 2

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$\sec^{2} (x) - 1 - \cot^{2} (x)$

Paso 3

Factoriza.

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Paso 3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sec^{2} (x) - 1^{2} - \cot^{2} (x)$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \sec (x)$ y $b = 1$ .

$(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1) - \cot^{2} (x)$

Paso 4

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1) - (\csc^{2} (x) - 1)$

Paso 5

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 5.1

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\sec (x) - 1) - (\csc^{2} (x) - 1)$

Paso 5.2

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1) - (\csc^{2} (x) - 1)$

Paso 5.3

Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1) - ({(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1)$

Paso 5.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1) - (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Expande $(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1) - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1) - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.2.1.1

Multiplica $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Paso 6.1.2.1.1.1

Multiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.1.1.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.1.1.3

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.1.2

Combina $\frac{1}{\cos (x)}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{- 1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.1.4

Multiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ por $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.2

Para escribir $- \frac{1}{\cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de ${\cos (x)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.1.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.3.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.3.3

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.5

Para escribir $\frac{1}{\cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.6

Escribe cada expresión con un denominador común de ${\cos (x)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.1.2.6.1

Multiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.6.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.6.3

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} - 1 \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.9

Combina $- 1$ y $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.3.1

Suma $- \cos (x)$ y $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 0 - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.3.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.3.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} - (\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Paso 6.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - - 1$

Paso 6.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + 1$

Paso 6.2

Para escribir $\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + 1$

Paso 6.3

Para escribir $- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 1$

Paso 6.4

Escribe cada expresión con un denominador común de ${\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$ por $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 1$

Paso 6.4.2

Multiplica $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ por $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} + 1$

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Paso 6.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Paso 6.6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.6.1

Expande $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Paso 6.6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Paso 6.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Paso 6.6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{(1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Paso 6.6.2.1.2

Multiplica $- \cos (x)$ por $1$ .

$\frac{(1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Paso 6.6.2.1.3

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{(1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Paso 6.6.2.1.4

Multiplica $\cos (x) (- \cos (x))$ .

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Paso 6.6.2.1.4.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Paso 6.6.2.1.4.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Paso 6.6.2.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Paso 6.6.2.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2}) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Paso 6.6.2.2

Suma $- \cos (x)$ y $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + 0 - {\cos (x)}^{2}) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Paso 6.6.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(1 - {\cos (x)}^{2}) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Paso 6.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Paso 6.6.4

Multiplica ${\sin (x)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Paso 6.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Paso 6.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Paso 6.9

Simplifica el numerador.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Paso 7

Ahora considera el lado izquierdo de la ecuación.

$\sec^{2} (x) - \csc^{2} (x)$

Paso 8

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 8.1

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \csc^{2} (x)$

Paso 8.2

Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Paso 8.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Paso 8.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Paso 9

Simplifica cada término.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 10

Resta de fracciones.

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Paso 10.1

Para escribir $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 10.2

Para escribir $- \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 10.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.3.1

Multiplica $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 10.3.2

Multiplica $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Paso 10.3.3

Reordena los factores de $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Paso 10.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Paso 11

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \sin (x)$ y $b = \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Paso 12

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) = \tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)$ es una identidad