Álgebra Ejemplos

${(a + b)}^{6}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(a + b)}^{6}$ , $n = 6$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $7$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $a$ y $b$ en la expresión $b$ .

$1 {(a)}^{6} {(b)}^{0} + 6 {(a)}^{5} {(b)}^{1} + 15 {(a)}^{4} {(b)}^{2} + 20 {(a)}^{3} {(b)}^{3} + 15 {(a)}^{2} {(b)}^{4} + 6 {(a)}^{1} {(b)}^{5} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{6}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(a)}^{6}$ por $1$ .

${(a)}^{6} {(b)}^{0} + 6 {(a)}^{5} {(b)}^{1} + 15 {(a)}^{4} {(b)}^{2} + 20 {(a)}^{3} {(b)}^{3} + 15 {(a)}^{2} {(b)}^{4} + 6 {(a)}^{1} {(b)}^{5} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{6}$

Paso 4.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a^{6} \cdot 1 + 6 {(a)}^{5} {(b)}^{1} + 15 {(a)}^{4} {(b)}^{2} + 20 {(a)}^{3} {(b)}^{3} + 15 {(a)}^{2} {(b)}^{4} + 6 {(a)}^{1} {(b)}^{5} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{6}$

Paso 4.3

Multiplica $a^{6}$ por $1$ .

$a^{6} + 6 {(a)}^{5} {(b)}^{1} + 15 {(a)}^{4} {(b)}^{2} + 20 {(a)}^{3} {(b)}^{3} + 15 {(a)}^{2} {(b)}^{4} + 6 {(a)}^{1} {(b)}^{5} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{6}$

Paso 4.4

Simplifica.

$a^{6} + 6 a^{5} b + 15 {(a)}^{4} {(b)}^{2} + 20 {(a)}^{3} {(b)}^{3} + 15 {(a)}^{2} {(b)}^{4} + 6 {(a)}^{1} {(b)}^{5} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{6}$

Paso 4.5

Simplifica.

$a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a {(b)}^{5} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{6}$

Paso 4.6

Multiplica ${(a)}^{0}$ por $1$ .

$a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + {(a)}^{0} {(b)}^{6}$

Paso 4.7

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 {(b)}^{6}$

Paso 4.8

Multiplica ${(b)}^{6}$ por $1$ .

$a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}$