Álgebra Ejemplos

$4 \cdot 2^{- \frac{t}{5}} = 288$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (4 \cdot 2^{- \frac{t}{5}}) = \ln (288)$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln (4 \cdot 2^{- \frac{t}{5}})$ como $\ln (4) + \ln (2^{- \frac{t}{5}})$ .

$\ln (4) + \ln (2^{- \frac{t}{5}}) = \ln (288)$

Paso 2.2

Expande $\ln (2^{- \frac{t}{5}})$ ; para ello, mueve $- \frac{t}{5}$ fuera del logaritmo.

$\ln (4) - \frac{t}{5} \ln (2) = \ln (288)$

Paso 2.3

Combina $\ln (2)$ y $\frac{t}{5}$ .

$\ln (4) - \frac{\ln (2) t}{5} = \ln (288)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Reordena los factores en $\ln (4) - \frac{\ln (2) t}{5}$ .

$\ln (4) - \frac{t \ln (2)}{5} = \ln (288)$

Paso 4

Reordena $\ln (4)$ y $- \frac{t \ln (2)}{5}$ .

$- \frac{t \ln (2)}{5} + \ln (4) = \ln (288)$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- \frac{t \ln (2)}{5} + \ln (4) - \ln (288) = 0$

Paso 6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{t \ln (2)}{5} + \ln (\frac{4}{288}) = 0$

Paso 7

Cancela el factor común de $4$ y $288$ .

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Paso 7.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- \frac{t \ln (2)}{5} + \ln (\frac{4 (1)}{288}) = 0$

Paso 7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.1

Factoriza $4$ de $288$ .

$- \frac{t \ln (2)}{5} + \ln (\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 72}) = 0$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{t \ln (2)}{5} + \ln (\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 72}) = 0$

Paso 7.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{t \ln (2)}{5} + \ln (\frac{1}{72}) = 0$

Paso 8

Resta $\ln (\frac{1}{72})$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{t \ln (2)}{5} = - \ln (\frac{1}{72})$

Paso 9

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 5$ .

$- 5 (- \frac{t \ln (2)}{5}) = - 5 (- \ln (\frac{1}{72}))$

Paso 10

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 10.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.1.1

Simplifica $- 5 (- \frac{t \ln (2)}{5})$ .

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Paso 10.1.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 10.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{t \ln (2)}{5}$ al numerador.

$- 5 \frac{- t \ln (2)}{5} = - 5 (- \ln (\frac{1}{72}))$

Paso 10.1.1.1.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$5 (- 1) \frac{- t \ln (2)}{5} = - 5 (- \ln (\frac{1}{72}))$

Paso 10.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$5 \cdot - 1 \frac{- t \ln (2)}{5} = - 5 (- \ln (\frac{1}{72}))$

Paso 10.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- (- t \ln (2)) = - 5 (- \ln (\frac{1}{72}))$

Paso 10.1.1.2

Multiplica.

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Paso 10.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (t \ln (2)) = - 5 (- \ln (\frac{1}{72}))$

Paso 10.1.1.2.2

Multiplica $t$ por $1$ .

$t \ln (2) = - 5 (- \ln (\frac{1}{72}))$

Paso 10.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$t \ln (2) = 5 \ln (\frac{1}{72})$

Paso 11

Divide cada término en $t \ln (2) = 5 \ln (\frac{1}{72})$ por $\ln (2)$ y simplifica.

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Paso 11.1

Divide cada término en $t \ln (2) = 5 \ln (\frac{1}{72})$ por $\ln (2)$ .

$\frac{t \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{5 \ln (\frac{1}{72})}{\ln (2)}$

Paso 11.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 11.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{t \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{5 \ln (\frac{1}{72})}{\ln (2)}$

Paso 11.2.1.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{5 \ln (\frac{1}{72})}{\ln (2)}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$t = \frac{5 \ln (\frac{1}{72})}{\ln (2)}$

Forma decimal:

$t = - 30.84962500 \dots$