Álgebra Ejemplos

$\frac{x + 3}{4} + \frac{y - 1}{3} = 1$ , $2 x - y = 12$

Paso 1

Obtén cada ecuación del plano en ecuación ordinaria.

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Paso 1.1

Simplifica.

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Paso 1.1.1

Para escribir $\frac{x + 3}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x + 3}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y - 1}{3} = 1, 2 x - y = 12$

Paso 1.1.2

Para escribir $\frac{y - 1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x + 3}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Paso 1.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.1.3.1

Multiplica $\frac{x + 3}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $\frac{y - 1}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{(y - 1) \cdot 4}{3 \cdot 4} = 1, 2 x - y = 12$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{(y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Paso 1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 3) \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Paso 1.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 3 + 3 \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Paso 1.1.5.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3 \cdot x + 3 \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Paso 1.1.5.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{3 \cdot x + 9 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Paso 1.1.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 9 + y \cdot 4 - 1 \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Paso 1.1.5.5

Mueve $4$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{3 x + 9 + 4 \cdot y - 1 \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Paso 1.1.5.6

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{3 x + 9 + 4 \cdot y - 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Paso 1.1.5.7

Resta $4$ de $9$ .

$\frac{3 x + 4 y + 5}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Paso 1.2

Divide la fracción $\frac{3 x + 4 y + 5}{12}$ en dos fracciones.

$\frac{3 x + 4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Paso 1.3

Divide la fracción $\frac{3 x + 4 y}{12}$ en dos fracciones.

$\frac{3 x}{12} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $3$ y $12$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{3 (x)}{12} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Paso 1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{3 x}{3 \cdot 4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3 \cdot 4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 1.5.1

Factoriza $4$ de $4 y$ .

$\frac{x}{4} + \frac{4 (y)}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Paso 1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Paso 1.6

Resta $\frac{5}{12}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1 - \frac{5}{12}, 2 x - y = 12$

Paso 1.7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.7.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12}, 2 x - y = 12$

Paso 1.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{12 - 5}{12}, 2 x - y = 12$

Paso 1.7.3

Resta $5$ de $12$ .

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}, 2 x - y = 12$

Paso 2

Para obtener la intersección de la línea que pasa por un punto $(p, q, r)$ perpendicular al plano $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ y al plano $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Busca los vectores normales del plano $P_{1}$ y del plano $P_{2}$ donde los vectores normales son $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ y $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Comprueba si el producto escalar es 0.

2. Crea un conjunto de ecuaciones paramétricas tales que $x = p + a t$ , $y = q + b t$ y $z = r + c t$ .

3. Sustituye estas ecuaciones en la ecuación del plano $P_{2}$ tal que $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ y resuelve para $t$ .

4. A partir del valor de $t$ , resuelve las ecuaciones paramétricas $x = p + a t$ , $y = q + b t$ y $z = r + c t$ en $t$ para obtener la intersección de $(x, y, z)$ .

Paso 3

Obtén los vectores normales para cada plano y determina si son perpendiculares mediante el cálculo del producto escalar.

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Paso 3.1

$P_{1}$ es $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}$ . Encuentra el vector normal $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ a partir de la ecuación del plano de la forma $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, 0 ⟩$

Paso 3.2

$P_{2}$ es $2 x - y = 12$ . Encuentra el vector normal $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ a partir de la ecuación del plano de la forma $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 2, - 1, 0 ⟩$

Paso 3.3

Calcula el producto escalar de $n_{1}$ y $n_{2}$ mediante la suma de los productos de los valores correspondientes de $x$ , $y$ y $z$ en los vectores normales.

$\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Paso 3.4

Simplifica el producto escalar.

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Paso 3.4.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Paso 3.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Paso 3.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Paso 3.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Paso 3.4.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{3} + 0 \cdot 0$

Paso 3.4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0 \cdot 0$

Paso 3.4.2.4

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0$

Paso 3.4.3

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + 0$

Paso 3.4.4

Para escribir $- \frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Paso 3.4.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.5.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Paso 3.4.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Paso 3.4.5.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} + 0$

Paso 3.4.5.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6} + 0$

Paso 3.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 - 2}{6} + 0$

Paso 3.4.7

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1}{6} + 0$

Paso 3.4.8

Suma $\frac{1}{6}$ y $0$ .

$\frac{1}{6}$

Paso 4

A continuación, construye un conjunto de ecuaciones paramétricas $x = p + a t$ , $y = q + b t$ y $z = r + c t$ con el origen $(0, 0, 0)$ para el punto $(p, q, r)$ y los valores del vector normal $\frac{1}{6}$ para los valores de $a$ , $b$ y $c$ . Este conjunto de ecuaciones paramétricas representa la línea que pasa por el origen perpendicular a $P_{1}$ $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} t$

$y = 0 + \frac{1}{3} t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Paso 5

Sustituye la expresión para $x$ , $y$ y $z$ en la ecuación para $P_{2}$ $2 x - y = 12$ .

$2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t) = 12$

Paso 6

Resuelve la ecuación en $t$ .

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Paso 6.1

Simplifica $2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t)$ .

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Paso 6.1.1

Combina los términos opuestos en $2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t)$ .

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Paso 6.1.1.1

Suma $0$ y $\frac{1}{4} t$ .

$2 (\frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t) = 12$

Paso 6.1.1.2

Suma $0$ y $\frac{1}{3} t$ .

$2 (\frac{1}{4} t) - (\frac{1}{3} t) = 12$

Paso 6.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $t$ .

$2 \frac{t}{4} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \frac{t}{2 (2)} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Paso 6.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{t}{2 \cdot 2} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Paso 6.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Paso 6.1.2.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $t$ .

$\frac{t}{2} - \frac{t}{3} = 12$

Paso 6.1.3

Para escribir $\frac{t}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t}{3} = 12$

Paso 6.1.4

Para escribir $- \frac{t}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Paso 6.1.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.1.5.1

Multiplica $\frac{t}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Paso 6.1.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Paso 6.1.5.3

Multiplica $\frac{t}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t \cdot 2}{3 \cdot 2} = 12$

Paso 6.1.5.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t \cdot 2}{6} = 12$

Paso 6.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{t \cdot 3 - t \cdot 2}{6} = 12$

Paso 6.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.7.1

Factoriza $t$ de $t \cdot 3 - t \cdot 2$ .

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Paso 6.1.7.1.1

Factoriza $t$ de $t \cdot 3$ .

$\frac{t (3) - t \cdot 2}{6} = 12$

Paso 6.1.7.1.2

Factoriza $t$ de $- t \cdot 2$ .

$\frac{t (3) + t (- 1 \cdot 2)}{6} = 12$

Paso 6.1.7.1.3

Factoriza $t$ de $t (3) + t (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{t (3 - 1 \cdot 2)}{6} = 12$

Paso 6.1.7.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{t (3 - 2)}{6} = 12$

Paso 6.1.7.3

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{t \cdot 1}{6} = 12$

Paso 6.1.8

Multiplica $t$ por $1$ .

$\frac{t}{6} = 12$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $6$ .

$6 \frac{t}{6} = 6 \cdot 12$

Paso 6.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$6 \frac{t}{6} = 6 \cdot 12$

Paso 6.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$t = 6 \cdot 12$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $6$ por $12$ .

$t = 72$

Paso 7

Resuelve las ecuaciones paramétricas en $x$ , $y$ y $z$ mediante el valor de $t$ .

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Paso 7.1

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 7.1.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $72$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot 72$

Paso 7.1.2

Elimina los paréntesis.

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (72)$

Paso 7.1.3

Simplifica $0 + \frac{1}{4} \cdot (72)$ .

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Paso 7.1.3.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.1.3.1.1

Factoriza $4$ de $72$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (4 (18))$

Paso 7.1.3.1.2

Cancela el factor común.

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 18)$

Paso 7.1.3.1.3

Reescribe la expresión.

$x = 0 + 18$

Paso 7.1.3.2

Suma $0$ y $18$ .

$x = 18$

Paso 7.2

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $72$ .

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot 72$

Paso 7.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (72)$

Paso 7.2.3

Simplifica $0 + \frac{1}{3} \cdot (72)$ .

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Paso 7.2.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $72$ .

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (3 (24))$

Paso 7.2.3.1.2

Cancela el factor común.

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 24)$

Paso 7.2.3.1.3

Reescribe la expresión.

$y = 0 + 24$

Paso 7.2.3.2

Suma $0$ y $24$ .

$y = 24$

Paso 7.3

Resuelve la ecuación en $z$ .

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Paso 7.3.1

Elimina los paréntesis.

$z = 0 + 0 \cdot (72)$

Paso 7.3.2

Simplifica $0 + 0 \cdot (72)$ .

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Paso 7.3.2.1

Multiplica $0$ por $72$ .

$z = 0 + 0$

Paso 7.3.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$z = 0$

Paso 7.4

Las ecuaciones paramétricas resueltas para $x$ , $y$ y $z$ .

$x = 18$

$y = 24$

$z = 0$

$x = 18$

$y = 24$

$z = 0$

Paso 8

Mediante los valores calculados para $x$ , $y$ y $z$ , el punto de intersección es $(18, 24, 0)$ .

$(18, 24, 0)$