Álgebra Ejemplos

$f (x) = x^{5} - 3 x^{4} + 5 x^{3} - 5 x^{2} - 6 x + 8$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$f (x) = x^{5} - 5 x^{2} - 6 x - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Paso 2

Factoriza $x$ de $x^{5} - 5 x^{2} - 6 x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$f (x) = x \cdot x^{4} - 5 x^{2} - 6 x - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Paso 2.2

Factoriza $x$ de $- 5 x^{2}$ .

$f (x) = x \cdot x^{4} + x (- 5 x) - 6 x - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Paso 2.3

Factoriza $x$ de $- 6 x$ .

$f (x) = x \cdot x^{4} + x (- 5 x) + x \cdot - 6 - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Paso 2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{4} + x (- 5 x)$ .

$f (x) = x (x^{4} - 5 x) + x \cdot - 6 - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Paso 2.5

Factoriza $x$ de $x (x^{4} - 5 x) + x \cdot - 6$ .

$f (x) = x (x^{4} - 5 x - 6) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Paso 3

Factoriza $x^{4} - 5 x - 6$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 3.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Paso 3.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$f (x) = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Paso 3.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 3.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

$f (x) = {(- 1)}^{4} - 5 \cdot - 1 - 6$

Paso 3.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (x) = 1 - 5 \cdot - 1 - 6$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$f (x) = 1 + 5 - 6$

Paso 3.3.4

Suma $1$ y $5$ .

$f (x) = 6 - 6$

Paso 3.3.5

Resta $6$ de $6$ .

$f (x) = 0$

Paso 3.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$f (x) = \frac{x^{4} - 5 x - 6}{x + 1}$

Paso 3.5

Divide $x^{4} - 5 x - 6$ por $x + 1$ .

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Paso 3.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$f (x) =$

Paso 3.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$f (x) =$

Paso 3.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$f (x) =$

Paso 3.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{4} + x^{3}$ .

$f (x) =$

Paso 3.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$f (x) =$

Paso 3.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$f (x) =$

Paso 3.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$f (x) =$

Paso 3.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$f (x) =$

Paso 3.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{3} - x^{2}$ .

$f (x) =$

Paso 3.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$f (x) =$

Paso 3.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$f (x) =$

Paso 3.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$f (x) =$

Paso 3.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$f (x) =$

Paso 3.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + x$ .

$f (x) =$

Paso 3.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$f (x) =$

Paso 3.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$f (x) =$

Paso 3.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$f (x) =$

Paso 3.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$f (x) =$

Paso 3.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x - 6$ .

$f (x) =$

Paso 3.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$f (x) =$

Paso 3.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$f (x) = x^{3} - x^{2} + x - 6$

Paso 3.6

Escribe $x^{4} - 5 x - 6$ como un conjunto de factores.

$f (x) = x ((x + 1) (x^{3} - x^{2} + x - 6)) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Paso 4

Factoriza.

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Paso 4.1

Factoriza $x^{3} - x^{2} + x - 6$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 4.1.1

Factoriza $x^{3} - x^{2} + x - 6$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 4.1.1.1

$f (x) = p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Paso 4.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$f (x) = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Paso 4.1.1.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1.1.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$f (x) = 2^{3} - 2^{2} + 2 - 6$

Paso 4.1.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (x) = 8 - 2^{2} + 2 - 6$

Paso 4.1.1.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (x) = 8 - 1 \cdot 4 + 2 - 6$

Paso 4.1.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (x) = 8 - 4 + 2 - 6$

Paso 4.1.1.3.5

Resta $4$ de $8$ .

$f (x) = 4 + 2 - 6$

Paso 4.1.1.3.6

Suma $4$ y $2$ .

$f (x) = 6 - 6$

Paso 4.1.1.3.7

Resta $6$ de $6$ .

$f (x) = 0$

Paso 4.1.1.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$f (x) = \frac{x^{3} - x^{2} + x - 6}{x - 2}$

Paso 4.1.1.5

Divide $x^{3} - x^{2} + x - 6$ por $x - 2$ .

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Paso 4.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$f (x) =$

Paso 4.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$f (x) =$

Paso 4.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$f (x) =$

Paso 4.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 2 x^{2}$ .

$f (x) =$

Paso 4.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$f (x) =$

Paso 4.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$f (x) =$

Paso 4.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$f (x) =$

Paso 4.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$f (x) =$

Paso 4.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} - 2 x$ .

$f (x) =$

Paso 4.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$f (x) =$

Paso 4.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$f (x) =$

Paso 4.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$f (x) =$

Paso 4.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$f (x) =$

Paso 4.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x - 6$ .

$f (x) =$

Paso 4.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$f (x) =$

Paso 4.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$f (x) = x^{2} + x + 3$

Paso 4.1.1.6

Escribe $x^{3} - x^{2} + x - 6$ como un conjunto de factores.

$f (x) = x ((x + 1) ((x - 2) (x^{2} + x + 3))) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Paso 4.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = x ((x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3)) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) - 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$

Paso 5

Factoriza $- 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 5.1

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Paso 5.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

Paso 5.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 5.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

$f (x) = - 3 {(- 1)}^{4} + 5 {(- 1)}^{3} + 8$

Paso 5.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (x) = - 3 \cdot 1 + 5 {(- 1)}^{3} + 8$

Paso 5.3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f (x) = - 3 + 5 {(- 1)}^{3} + 8$

Paso 5.3.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (x) = - 3 + 5 \cdot - 1 + 8$

Paso 5.3.5

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f (x) = - 3 - 5 + 8$

Paso 5.3.6

Resta $5$ de $- 3$ .

$f (x) = - 8 + 8$

Paso 5.3.7

Suma $- 8$ y $8$ .

$f (x) = 0$

Paso 5.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$f (x) = \frac{- 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8}{x + 1}$

Paso 5.5

Divide $- 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$ por $x + 1$ .

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Paso 5.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$f (x) =$

Paso 5.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 3 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$f (x) =$

Paso 5.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$f (x) =$

Paso 5.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 3 x^{4} - 3 x^{3}$ .

$f (x) =$

Paso 5.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$f (x) =$

Paso 5.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$f (x) =$

Paso 5.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $8 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$f (x) =$

Paso 5.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$f (x) =$

Paso 5.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $8 x^{3} + 8 x^{2}$ .

$f (x) =$

Paso 5.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$f (x) =$

Paso 5.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$f (x) =$

Paso 5.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 8 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$f (x) =$

Paso 5.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$f (x) =$

Paso 5.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 8 x^{2} - 8 x$ .

$f (x) =$

Paso 5.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$f (x) =$

Paso 5.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$f (x) =$

Paso 5.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $8 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$f (x) =$

Paso 5.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$f (x) =$

Paso 5.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $8 x + 8$ .

$f (x) =$

Paso 5.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$f (x) =$

Paso 5.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$f (x) = - 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$

Paso 5.6

Escribe $- 3 x^{4} + 5 x^{3} + 8$ como un conjunto de factores.

$f (x) = x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) + (x + 1) (- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8)$

Paso 6

Factoriza $- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 6.1

Factoriza $- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 6.1.1

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Paso 6.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

Paso 6.1.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 6.1.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$f (x) = - 3 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 8$

Paso 6.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (x) = - 3 \cdot 8 + 8 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 8$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $- 3$ por $8$ .

$f (x) = - 24 + 8 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 8$

Paso 6.1.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (x) = - 24 + 8 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 8$

Paso 6.1.3.5

Multiplica $8$ por $4$ .

$f (x) = - 24 + 32 - 8 \cdot 2 + 8$

Paso 6.1.3.6

Suma $- 24$ y $32$ .

$f (x) = 8 - 8 \cdot 2 + 8$

Paso 6.1.3.7

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$f (x) = 8 - 16 + 8$

Paso 6.1.3.8

Resta $16$ de $8$ .

$f (x) = - 8 + 8$

Paso 6.1.3.9

Suma $- 8$ y $8$ .

$f (x) = 0$

Paso 6.1.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$f (x) = \frac{- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8}{x - 2}$

Paso 6.1.5

Divide $- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$ por $x - 2$ .

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Paso 6.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$f (x) =$

Paso 6.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 3 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$f (x) =$

Paso 6.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$f (x) =$

Paso 6.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 3 x^{3} + 6 x^{2}$ .

$f (x) =$

Paso 6.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$f (x) =$

Paso 6.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$f (x) =$

Paso 6.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$f (x) =$

Paso 6.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$f (x) =$

Paso 6.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{2} - 4 x$ .

$f (x) =$

Paso 6.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$f (x) =$

Paso 6.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$f (x) =$

Paso 6.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$f (x) =$

Paso 6.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$f (x) =$

Paso 6.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x + 8$ .

$f (x) =$

Paso 6.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$f (x) =$

Paso 6.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$f (x) = - 3 x^{2} + 2 x - 4$

Paso 6.1.6

Escribe $- 3 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x + 8$ como un conjunto de factores.

$f (x) = x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) + (x + 1) ((x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4))$

Paso 6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) + (x + 1) (x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Paso 7

Factoriza $(x + 1) (x - 2)$ de $x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3) + (x + 1) (x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4)$ .

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Paso 7.1

Factoriza $(x + 1) (x - 2)$ de $x (x + 1) (x - 2) (x^{2} + x + 3)$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) ((x) (x^{2} + x + 3)) + (x + 1) (x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Paso 7.2

Factoriza $(x + 1) (x - 2)$ de $(x + 1) (x - 2) ((x) (x^{2} + x + 3)) + (x + 1) (x - 2) (- 3 x^{2} + 2 x - 4)$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) ((x) (x^{2} + x + 3) - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Paso 8

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 9.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Paso 9.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot x + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Paso 9.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} + x \cdot x + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Paso 9.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} + x^{2} + x \cdot 3 - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Paso 9.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 3 \cdot x - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 3 x - 3 x^{2} + 2 x - 4)$

Paso 10

Resta $3 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2 x - 4)$

Paso 11

Suma $3 x$ y $2 x$ .

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4)$

Paso 12

Factoriza.

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Paso 12.1

Factoriza $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 12.1.1

$f (x) = p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Paso 12.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$f (x) = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 12.1.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 12.1.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$f (x) = 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 4$

Paso 12.1.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$f (x) = 1 - 2 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 4$

Paso 12.1.3.3

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$f (x) = 1 - 2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 4$

Paso 12.1.3.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (x) = 1 - 2 + 5 \cdot 1 - 4$

Paso 12.1.3.5

Resta $2$ de $1$ .

$f (x) = - 1 + 5 \cdot 1 - 4$

Paso 12.1.3.6

Multiplica $5$ por $1$ .

$f (x) = - 1 + 5 - 4$

Paso 12.1.3.7

Suma $- 1$ y $5$ .

$f (x) = 4 - 4$

Paso 12.1.3.8

Resta $4$ de $4$ .

$f (x) = 0$

Paso 12.1.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4}{x - 1}$

Paso 12.1.5

Divide $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4$ por $x - 1$ .

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Paso 12.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$f (x) =$

Paso 12.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$f (x) =$

Paso 12.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$f (x) =$

Paso 12.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - x^{2}$ .

$f (x) =$

Paso 12.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$f (x) =$

Paso 12.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$f (x) =$

Paso 12.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$f (x) =$

Paso 12.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$f (x) =$

Paso 12.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{2} + x$ .

$f (x) =$

Paso 12.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$f (x) =$

Paso 12.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$f (x) =$

Paso 12.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$f (x) =$

Paso 12.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$f (x) =$

Paso 12.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x - 4$ .

$f (x) =$

Paso 12.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$f (x) =$

Paso 12.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$f (x) = x^{2} - x + 4$

Paso 12.1.6

Escribe $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4$ como un conjunto de factores.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) ((x - 1) (x^{2} - x + 4))$

Paso 12.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x - 1) (x^{2} - x + 4)$