Álgebra Ejemplos

$x e^{- x}$

Paso 1

Escribe $x e^{- x}$ como una función.

$f (x) = x e^{- x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f' (x) = x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Paso 2.1.3.5

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Reordena los términos.

$f' (x) = - e^{- x} x + e^{- x}$

Paso 2.1.4.2

Reordena los factores en $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

Paso 3.2

Factoriza $e^{- x}$ de $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $e^{- x}$ de $- x e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

Paso 3.2.2

Multiplica por $1$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ .

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

Paso 3.4

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $e^{- x} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Paso 3.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.4.2.3

No hay soluciones para $e^{- x} = 0$

No hay solución

Paso 3.5

Establece $- x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $- x + 1$ igual a $0$ .

$- x + 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $- x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.5.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{- x} (- x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 1$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $1$ .

$1$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = x e^{- x}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = 0 \cdot e^{- (0)} + e^{- (0)}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f' (0) = 0 \cdot e^{0} + e^{- (0)}$

Paso 6.2.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{- (0)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$f' (0) = 0 + e^{- (0)}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + e^{0}$

Paso 6.2.1.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Paso 6.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f' (0) = 1$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 6.3

En $x = 0$ la derivada es $1$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 1)$ .

Incremento en $(- \infty, 1)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = - 2 \cdot e^{- (2)} + e^{- (2)}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (2) = - 2 \cdot e^{- 2} + e^{- (2)}$

Paso 7.2.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}} + e^{- (2)}$

Paso 7.2.1.3

Combina $- 2$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (2) = \frac{- 2}{e^{2}} + e^{- (2)}$

Paso 7.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- (2)}$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- 2}$

Paso 7.2.1.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - \frac{2}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}$

Paso 7.2.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (2) = \frac{- 2 + 1}{e^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.2.2.1

Suma $- 2$ y $1$ .

$f' (2) = \frac{- 1}{e^{2}}$

Paso 7.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (2) = - \frac{1}{e^{2}}$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{1}{e^{2}}$

Paso 7.3

En $x = 2$ la derivada es $- \frac{1}{e^{2}}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(1, \infty)$ .

Decrecimiento en $(1, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 1)$

Decrecimiento en: $(1, \infty)$

Paso 9