Álgebra Ejemplos

${(3 (\cos (30) + i \sin (30)))}^{3}$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (30)))}^{3}$

Paso 1.1.2

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}))}^{3}$

Paso 1.1.3

Combina $i$ y $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}))}^{3}$

Paso 1.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(3 \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \frac{i}{2})}^{3}$

Paso 1.2.2

Combina $3$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + 3 \frac{i}{2})}^{3}$

Paso 1.2.3

Combina $3$ y $\frac{i}{2}$ .

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 2

Usa el teorema del binomio.

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{{(3 \sqrt{3})}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.1.2

Aplica la regla del producto a $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{27 {\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.2.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{27 \sqrt{3^{3}}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{27 \sqrt{27}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.2.4

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$\frac{27 \sqrt{9 (3)}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.2.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{27 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{27 \cdot 3 \sqrt{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.2.6

Multiplica $27$ por $3$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.4

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{{(3 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.4.2

Aplica la regla del producto a $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.5.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.5.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.1.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.5.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.5.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.5.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.5.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.5.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3^{1}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.5.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3}{4} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.7

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 (\frac{27}{4}) \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.8

Multiplica $3 (\frac{27}{4})$ .

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Paso 3.1.8.1

Combina $3$ y $\frac{27}{4}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{3 \cdot 27}{4} \cdot \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.8.2

Multiplica $3$ por $27$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{81}{4} \cdot \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.9

Multiplica $\frac{81}{4} \cdot \frac{3 i}{2}$ .

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Paso 3.1.9.1

Multiplica $\frac{81}{4}$ por $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{81 (3 i)}{4 \cdot 2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.9.2

Multiplica $3$ por $81$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{4 \cdot 2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.9.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.10

Multiplica $3 \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 3.1.10.1

Combina $3$ y $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{3 (3 \sqrt{3})}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.10.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.11

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.11.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{{(3 i)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.11.2

Aplica la regla del producto a $3 i$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3^{2} i^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.12

Combinar.

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3} (3^{2} i^{2})}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.13

Multiplica $2$ por $2^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.13.1

Multiplica $2$ por $2^{2}$ .

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Paso 3.1.13.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3} (3^{2} i^{2})}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.13.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3} (3^{2} i^{2})}{2^{1 + 2}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.13.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3} (3^{2} i^{2})}{2^{3}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.14

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.14.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{3^{2} \cdot 3^{2} \sqrt{3} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.14.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{3^{2 + 2} \sqrt{3} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.14.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{3^{4} \sqrt{3} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.15

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{3^{4} \sqrt{3} i^{2}}{8} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.16

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.16.1

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{81 \sqrt{3} i^{2}}{8} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.16.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{81 \sqrt{3} \cdot - 1}{8} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.16.3

Multiplica $- 1$ por $81$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{- 81 \sqrt{3}}{8} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

Paso 3.1.18

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.18.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{{(3 i)}^{3}}{2^{3}}$

Paso 3.1.18.2

Aplica la regla del producto a $3 i$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{3^{3} i^{3}}{2^{3}}$

Paso 3.1.19

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.19.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{27 i^{3}}{2^{3}}$

Paso 3.1.19.2

Factoriza $i^{2}$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{27 (i^{2} \cdot i)}{2^{3}}$

Paso 3.1.19.3

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{27 (- 1 \cdot i)}{2^{3}}$

Paso 3.1.19.4

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{27 \cdot - 1 i}{2^{3}}$

Paso 3.1.19.5

Combina exponentes.

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Paso 3.1.19.5.1

Factoriza el negativo.

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{- (27 i)}{2^{3}}$

Paso 3.1.19.5.2

Multiplica $27$ por $- 1$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 27 i}{2^{3}}$

Paso 3.1.20

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 27 i}{8}$

Paso 3.1.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} - \frac{27 i}{8}$

Paso 3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{81 \sqrt{3} + 243 i - 81 \sqrt{3} - 27 i}{8}$

Paso 3.2.2

Resta $81 \sqrt{3}$ de $81 \sqrt{3}$ .

$\frac{0 + 243 i - 27 i}{8}$

Paso 3.2.3

Suma $0$ y $243 i$ .

$\frac{243 i - 27 i}{8}$

Paso 3.2.4

Resta $27 i$ de $243 i$ .

$\frac{216 i}{8}$

Paso 3.2.5

Cancela el factor común de $216$ y $8$ .

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Paso 3.2.5.1

Factoriza $8$ de $216 i$ .

$\frac{8 (27 i)}{8}$

Paso 3.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.5.2.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$\frac{8 (27 i)}{8 (1)}$

Paso 3.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{8 (27 i)}{8 \cdot 1}$

Paso 3.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{27 i}{1}$

Paso 3.2.5.2.4

Divide $27 i$ por $1$ .

$27 i$