Álgebra Ejemplos

$(- 5, - 3)$ , $(7, 2)$

Paso 1

El diámetro de un círculo es cualquier segmento de recta que pase por el centro del círculo y cuyos extremos estén en la circunferencia del círculo. Los extremos dados del diámetro son $(- 5, - 3)$ y $(7, 2)$ . El punto central del círculo es el centro del diámetro, que es el punto medio entre $(- 5, - 3)$ y $(7, 2)$ . En este caso, el punto medio es $(1, - \frac{1}{2})$ .

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Paso 1.1

Usa la fórmula del punto medio para obtener el punto medio del segmento.

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Paso 1.2

Sustituye los valores de $(x_{1}, y_{1})$ y $(x_{2}, y_{2})$ .

$(\frac{- 5 + 7}{2}, \frac{- 3 + 2}{2})$

Paso 1.3

Suma $- 5$ y $7$ .

$(\frac{2}{2}, \frac{- 3 + 2}{2})$

Paso 1.4

Divide $2$ por $2$ .

$(1, \frac{- 3 + 2}{2})$

Paso 1.5

Suma $- 3$ y $2$ .

$(1, \frac{- 1}{2})$

Paso 1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(1, - \frac{1}{2})$

Paso 2

Obtén el radio $r$ en el círculo. El radio es cualquier segmento desde el centro del círculo hasta cualquier punto en su circunferencia. En este caso, $r$ es la distancia entre $(1, - \frac{1}{2})$ y $(- 5, - 3)$ .

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Paso 2.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 2.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

$r = \sqrt{{((- 5) - 1)}^{2} + {((- 3) - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Resta $1$ de $- 5$ .

$r = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {((- 3) - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

Paso 2.3.2

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{36 + {((- 3) - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

Paso 2.3.3

Multiplica $- (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = \sqrt{36 + {(- 3 + 1 (\frac{1}{2}))}^{2}}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$r = \sqrt{36 + {(- 3 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.4

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{36 + {(- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.5

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{36 + {(\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{36 + {(\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.7.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$r = \sqrt{36 + {(\frac{- 6 + 1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.7.2

Suma $- 6$ y $1$ .

$r = \sqrt{36 + {(\frac{- 5}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r = \sqrt{36 + {(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.9

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.3.9.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{2}$ .

$r = \sqrt{36 + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.9.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$r = \sqrt{36 + {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})}$

Paso 2.3.10

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{36 + 1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})}$

Paso 2.3.11

Multiplica $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$r = \sqrt{36 + \frac{5^{2}}{2^{2}}}$

Paso 2.3.12

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{36 + \frac{25}{2^{2}}}$

Paso 2.3.13

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{36 + \frac{25}{4}}$

Paso 2.3.14

Para escribir $36$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$r = \sqrt{36 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}}$

Paso 2.3.15

Combina $36$ y $\frac{4}{4}$ .

$r = \sqrt{\frac{36 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}}$

Paso 2.3.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{\frac{36 \cdot 4 + 25}{4}}$

Paso 2.3.17

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.17.1

Multiplica $36$ por $4$ .

$r = \sqrt{\frac{144 + 25}{4}}$

Paso 2.3.17.2

Suma $144$ y $25$ .

$r = \sqrt{\frac{169}{4}}$

Paso 2.3.18

Reescribe $\sqrt{\frac{169}{4}}$ como $\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{4}}$ .

$r = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{4}}$

Paso 2.3.19

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.19.1

Reescribe $169$ como $13^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{13^{2}}}{\sqrt{4}}$

Paso 2.3.19.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = \frac{13}{\sqrt{4}}$

Paso 2.3.20

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.20.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$r = \frac{13}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 2.3.20.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = \frac{13}{2}$

Paso 3

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$ es la forma de la ecuación para un círculo con $r$ radio y $(h, k)$ como punto central. En este caso, $r = \frac{13}{2}$ y el punto central es $(1, - \frac{1}{2})$ . La ecuación del círculo es ${(x - (1))}^{2} + {(y - (- \frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{13}{2})}^{2}$ .

${(x - (1))}^{2} + {(y - (- \frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{13}{2})}^{2}$

Paso 4

La ecuación de un círculo es ${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{169}{4}$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{169}{4}$

Paso 5