Álgebra Ejemplos

$y = 3 x e^{- k x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d k} (y) = \frac{d}{d k} (3 x e^{- k x})$

Paso 2

Como $y$ es constante con respecto a $k$ , la derivada de $y$ con respecto a $k$ es $0$ .

$0$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $3$ es constante con respecto a $k$ , la derivada de $3 x e^{- k x}$ con respecto a $k$ es $3 \frac{d}{d k} [x e^{- k x}]$ .

$3 \frac{d}{d k} [x e^{- k x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ es $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ donde $f (k) = x$ y $g (k) = e^{- k x}$ .

$3 (x \frac{d}{d k} [e^{- k x}] + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ es $f' (g (k)) g' (k)$ donde $f (k) = e^{k}$ y $g (k) = - k x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- k x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- k x$ .

$3 (x (e^{- k x} \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $k$ , la derivada de $- k x$ con respecto a $k$ es $- \frac{d}{d k} [k x]$ .

$3 (x (e^{- k x} (- \frac{d}{d k} [k x])) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ es $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ donde $f (k) = k$ y $g (k) = x$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k \frac{d}{d k} [x] + x \frac{d}{d k} [k]))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Paso 3.6

Reescribe $\frac{d}{d k} [x]$ como $x'$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x \frac{d}{d k} [k]))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ es $n k^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x \cdot 1))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Paso 3.8

Multiplica $x$ por $1$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Paso 3.9

Reescribe $\frac{d}{d k} [x]$ como $x'$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x))) + e^{- k x} x')$

Paso 3.10

Simplifica.

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Paso 3.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x') - x)) + e^{- k x} x')$

Paso 3.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x')) + e^{- k x} (- x)) + e^{- k x} x')$

Paso 3.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x'))) + x (e^{- k x} (- x)) + e^{- k x} x')$

Paso 3.10.4

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x')))) + 3 (x (e^{- k x} (- x))) + 3 (e^{- k x} x')$

Paso 3.10.5

Combina los términos.

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Paso 3.10.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 (x (e^{- k x} (k x'))) + 3 (x (e^{- k x} (- x))) + 3 (e^{- k x} x')$

Paso 3.10.5.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1} x (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Paso 3.10.5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1} x^{1} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Paso 3.10.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1 + 1} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Paso 3.10.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Paso 3.10.5.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- k x}$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (- 1 \cdot e^{- k x})) + 3 (e^{- k x} x')$

Paso 3.10.5.7

Reescribe $- 1 e^{- k x}$ como $- e^{- k x}$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (- e^{- k x})) + 3 (e^{- k x} x')$

Paso 3.10.5.8

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) - 3 x^{2} e^{- k x} + 3 e^{- k x} x'$

Paso 3.10.6

Reordena los términos.

$- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$0 = - 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x' = 0$ .

$- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x' = 0$

Paso 5.2

Reordena los factores en $- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$ .

$- 3 k x x' e^{- k x} - 3 x^{2} e^{- k x} + 3 x' e^{- k x} = 0$

Paso 5.3

Suma $3 x^{2} e^{- k x}$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 k x x' e^{- k x} + 3 x' e^{- k x} = 3 x^{2} e^{- k x}$

Paso 5.4

Factoriza $3 x' e^{- k x}$ de $- 3 k x x' e^{- k x} + 3 x' e^{- k x}$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $3 x' e^{- k x}$ de $- 3 k x x' e^{- k x}$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} = 3 x^{2} e^{- k x}$

Paso 5.4.2

Factoriza $3 x' e^{- k x}$ de $3 x' e^{- k x}$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} \cdot 1 = 3 x^{2} e^{- k x}$

Paso 5.4.3

Factoriza $3 x' e^{- k x}$ de $3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} \cdot 1$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$

Paso 5.5

Divide cada término en $3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$ por $3 e^{- k x} (- k x + 1)$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$ por $3 e^{- k x} (- k x + 1)$ .

$\frac{3 x' e^{- k x} (- k x + 1)}{3 e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x' e^{- k x} (- k x + 1)}{3 e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Paso 5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' e^{- k x} (- k x + 1)}{e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común de $e^{- k x}$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' e^{- k x} (- k x + 1)}{e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Paso 5.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' (- k x + 1)}{- k x + 1} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Paso 5.5.2.3

Cancela el factor común de $- k x + 1$ .

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Paso 5.5.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (- k x + 1)}{- k x + 1} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Paso 5.5.2.3.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$x' = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Paso 5.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{x^{2} e^{- k x}}{e^{- k x} (- k x + 1)}$

Paso 5.5.3.2

Cancela el factor común de $e^{- k x}$ .

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Paso 5.5.3.2.1

Cancela el factor común.

$x' = \frac{x^{2} e^{- k x}}{e^{- k x} (- k x + 1)}$

Paso 5.5.3.2.2

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{x^{2}}{- k x + 1}$

Paso 5.5.3.3

Factoriza $- 1$ de $- k x$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x) + 1}$

Paso 5.5.3.4

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x) - 1 (- 1)}$

Paso 5.5.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (k x) - 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x - 1)}$

Paso 5.5.3.6

Reescribe los negativos.

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Paso 5.5.3.6.1

Reescribe $- (k x - 1)$ como $- 1 (k x - 1)$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- 1 (k x - 1)}$

Paso 5.5.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{x^{2}}{k x - 1}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d k}$ .

$\frac{d x}{d k} = - \frac{x^{2}}{k x - 1}$