Álgebra Ejemplos

$4 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108 = 0$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm 36, \pm 54, \pm 108$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm \frac{27}{2}, \pm \frac{27}{4}, \pm 36, \pm 54, \pm 108$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$4 {(3)}^{4} - 18 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$4 \cdot 81 - 18 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Paso 4.1.2

Multiplica $4$ por $81$ .

$324 - 18 {(3)}^{3} + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Paso 4.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$324 - 18 \cdot 27 + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 18$ por $27$ .

$324 - 486 + 42 {(3)}^{2} - 108 \cdot 3 + 108$

Paso 4.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$324 - 486 + 42 \cdot 9 - 108 \cdot 3 + 108$

Paso 4.1.6

Multiplica $42$ por $9$ .

$324 - 486 + 378 - 108 \cdot 3 + 108$

Paso 4.1.7

Multiplica $- 108$ por $3$ .

$324 - 486 + 378 - 324 + 108$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $486$ de $324$ .

$- 162 + 378 - 324 + 108$

Paso 4.2.2

Suma $- 162$ y $378$ .

$216 - 324 + 108$

Paso 4.2.3

Resta $324$ de $216$ .

$- 108 + 108$

Paso 4.2.4

Suma $- 108$ y $108$ .

$0$

Paso 5

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{4 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108}{x - 3}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(4)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$

	$4$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(4)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(12)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 18)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$
	$4$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$
	$4$	$- 6$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 6)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(- 18)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(42)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$
	$4$	$- 6$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$
	$4$	$- 6$	$24$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(24)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(72)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 108)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$
	$4$	$- 6$	$24$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$
	$4$	$- 6$	$24$	$- 36$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 36)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(- 108)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(108)$ .

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$	$- 108$
	$4$	$- 6$	$24$	$- 36$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$4$	$- 18$	$42$	$- 108$	$108$
		$12$	$- 18$	$72$	$- 108$
	$4$	$- 6$	$24$	$- 36$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$4 x^{3} + - 6 x^{2} + (24) x - 36$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 36$

Paso 7

Factoriza $2$ de $4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 36$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) - 6 x^{2} + 24 x - 36)$

Paso 7.2

Factoriza $2$ de $- 6 x^{2}$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 24 x - 36)$

Paso 7.3

Factoriza $2$ de $24 x$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (12 x) - 36)$

Paso 7.4

Factoriza $2$ de $- 36$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (- 18))$

Paso 7.5

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (- 18))$

Paso 7.6

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (12 x)$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x) + 2 (- 18))$

Paso 7.7

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x) + 2 (- 18)$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 18))$

Paso 8

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x - 3) (2 ((2 x^{3} - 3 x^{2}) + 12 x - 18))$

Paso 8.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x - 3) (2 (x^{2} (2 x - 3) + 6 (2 x - 3)))$

Paso 9

Factoriza.

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Paso 9.1

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 3$ .

$(x - 3) (2 ((2 x - 3) (x^{2} + 6)))$

Paso 9.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 3) (2 (2 x - 3) (x^{2} + 6))$

Paso 10

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 10.1

Factoriza $2$ de $4 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108$ .

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Paso 10.1.1

Factoriza $2$ de $4 x^{4}$ .

$2 (2 x^{4}) - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 108 x + 108 = 0$

Paso 10.1.2

Factoriza $2$ de $- 18 x^{3}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 42 x^{2} - 108 x + 108 = 0$

Paso 10.1.3

Factoriza $2$ de $42 x^{2}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) - 108 x + 108 = 0$

Paso 10.1.4

Factoriza $2$ de $- 108 x$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 108 = 0$

Paso 10.1.5

Factoriza $2$ de $108$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 (54) = 0$

Paso 10.1.6

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{4}) + 2 (- 9 x^{3})$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 (54) = 0$

Paso 10.1.7

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{4} - 9 x^{3}) + 2 (21 x^{2})$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 (54) = 0$

Paso 10.1.8

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (- 54 x)$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2} - 54 x) + 2 (54) = 0$

Paso 10.1.9

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2} - 54 x) + 2 (54)$ .

$2 (2 x^{4} - 9 x^{3} + 21 x^{2} - 54 x + 54) = 0$

Paso 10.2

Reagrupa los términos.

$2 (2 x^{4} - 54 x - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Paso 10.3

Factoriza $2 x$ de $2 x^{4} - 54 x$ .

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Paso 10.3.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{4}$ .

$2 (2 x (x^{3}) - 54 x - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Paso 10.3.2

Factoriza $2 x$ de $- 54 x$ .

$2 (2 x (x^{3}) + 2 x (- 27) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Paso 10.3.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{3}) + 2 x (- 27)$ .

$2 (2 x (x^{3} - 27) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Paso 10.4

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$2 (2 x (x^{3} - 3^{3}) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Paso 10.5

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$2 (2 x ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Paso 10.6

Factoriza.

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Paso 10.6.1

Simplifica.

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Paso 10.6.1.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$2 (2 x ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Paso 10.6.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$2 (2 x ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Paso 10.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) - 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54) = 0$

Paso 10.7

Factoriza $3$ de $- 9 x^{3} + 21 x^{2} + 54$ .

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Paso 10.7.1

Factoriza $3$ de $- 9 x^{3}$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3}) + 21 x^{2} + 54) = 0$

Paso 10.7.2

Factoriza $3$ de $21 x^{2}$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3}) + 3 (7 x^{2}) + 54) = 0$

Paso 10.7.3

Factoriza $3$ de $54$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3}) + 3 (7 x^{2}) + 3 (18)) = 0$

Paso 10.7.4

Factoriza $3$ de $3 (- 3 x^{3}) + 3 (7 x^{2})$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3} + 7 x^{2}) + 3 (18)) = 0$

Paso 10.7.5

Factoriza $3$ de $3 (- 3 x^{3} + 7 x^{2}) + 3 (18)$ .

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18)) = 0$

Paso 10.8

Factoriza.

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Paso 10.8.1

Factoriza $- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 10.8.1.1

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 3$

Paso 10.8.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 18, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 9, \pm 3$

Paso 10.8.1.3

Sustituye $3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 10.8.1.3.1

Sustituye $3$ en el polinomio.

$- 3 \cdot 3^{3} + 7 \cdot 3^{2} + 18$

Paso 10.8.1.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- 3 \cdot 27 + 7 \cdot 3^{2} + 18$

Paso 10.8.1.3.3

Multiplica $- 3$ por $27$ .

$- 81 + 7 \cdot 3^{2} + 18$

Paso 10.8.1.3.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- 81 + 7 \cdot 9 + 18$

Paso 10.8.1.3.5

Multiplica $7$ por $9$ .

$- 81 + 63 + 18$

Paso 10.8.1.3.6

Suma $- 81$ y $63$ .

$- 18 + 18$

Paso 10.8.1.3.7

Suma $- 18$ y $18$ .

$0$

Paso 10.8.1.4

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18}{x - 3}$

Paso 10.8.1.5

Divide $- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18$ por $x - 3$ .

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Paso 10.8.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$18$

Paso 10.8.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 3 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				-	$3 x^{2}$
	$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$

Paso 10.8.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			-	$3 x^{3}$	+	$9 x^{2}$

Paso 10.8.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 3 x^{3} + 9 x^{2}$ .

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Paso 10.8.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Paso 10.8.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 10.8.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 10.8.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Paso 10.8.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x^{2} + 6 x$ .

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Paso 10.8.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$

Paso 10.8.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$

Paso 10.8.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$

Paso 10.8.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$
							-	$6 x$	+	$18$

Paso 10.8.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x + 18$ .

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$
							+	$6 x$	-	$18$

Paso 10.8.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$6$
$x$	-	$3$	-	$3 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$18$
			+	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$18$
							+	$6 x$	-	$18$
										$0$

Paso 10.8.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- 3 x^{2} - 2 x - 6$

Paso 10.8.1.6

Escribe $- 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18$ como un conjunto de factores.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 ((x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Paso 10.8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)) = 0$

Paso 10.9

Factoriza $x - 3$ de $2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)$ .

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Paso 10.9.1

Factoriza $x - 3$ de $2 x (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$ .

$2 ((x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9)) + 3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)) = 0$

Paso 10.9.2

Factoriza $x - 3$ de $3 (x - 3) (- 3 x^{2} - 2 x - 6)$ .

$2 ((x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9)) + (x - 3) (3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Paso 10.9.3

Factoriza $x - 3$ de $(x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9)) + (x - 3) (3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))$ .

$2 ((x - 3) (2 x (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Paso 10.10

Aplica la propiedad distributiva.

$2 ((x - 3) (2 x \cdot x^{2} + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Paso 10.11

Simplifica.

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Paso 10.11.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.11.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 ((x - 3) (2 (x^{2} x) + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Paso 10.11.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 10.11.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 ((x - 3) (2 (x^{2} x) + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Paso 10.11.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 ((x - 3) (2 x^{2 + 1} + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Paso 10.11.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 x (3 x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Paso 10.11.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 x \cdot 9 + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Paso 10.11.3

Multiplica $9$ por $2$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 x \cdot x) + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Paso 10.12

Simplifica cada término.

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Paso 10.12.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 10.12.1.1

Mueve $x$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 (x \cdot x)) + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Paso 10.12.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 2 \cdot (3 x^{2}) + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Paso 10.12.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x + 3 (- 3 x^{2} - 2 x - 6))) = 0$

Paso 10.13

Aplica la propiedad distributiva.

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x + 3 (- 3 x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 6)) = 0$

Paso 10.14

Simplifica.

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Paso 10.14.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 9 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 6)) = 0$

Paso 10.14.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 9 x^{2} - 6 x + 3 \cdot - 6)) = 0$

Paso 10.14.3

Multiplica $3$ por $- 6$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 9 x^{2} - 6 x - 18)) = 0$

Paso 10.15

Resta $9 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} - 3 x^{2} + 18 x - 6 x - 18)) = 0$

Paso 10.16

Resta $6 x$ de $18 x$ .

$2 ((x - 3) (2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 18)) = 0$

Paso 10.17

Factoriza.

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Paso 10.17.1

Factoriza.

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Paso 10.17.1.1

Reescribe $2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 18$ en forma factorizada.

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Paso 10.17.1.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 10.17.1.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 ((x - 3) ((2 x^{3} - 3 x^{2}) + 12 x - 18)) = 0$

Paso 10.17.1.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 ((x - 3) (x^{2} (2 x - 3) + 6 (2 x - 3))) = 0$

Paso 10.17.1.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 3$ .

$2 ((x - 3) ((2 x - 3) (x^{2} + 6))) = 0$

Paso 10.17.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 ((x - 3) (2 x - 3) (x^{2} + 6)) = 0$

Paso 10.17.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x - 3) (2 x - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x^{2} + 6 = 0$

Paso 12

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 12.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 13

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Paso 13.2

Resuelve $2 x - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 13.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

Paso 13.2.2

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 13.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 13.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 13.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 14

Establece $x^{2} + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.1

Establece $x^{2} + 6$ igual a $0$ .

$x^{2} + 6 = 0$

Paso 14.2

Resuelve $x^{2} + 6 = 0$ en $x$ .

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Paso 14.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 6$

Paso 14.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Paso 14.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Paso 14.2.3.1

Reescribe $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Paso 14.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (6)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Paso 14.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Paso 14.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 14.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{6}$

Paso 14.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{6}$

Paso 14.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Paso 15

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x - 3) (2 x - 3) (x^{2} + 6) = 0$ verdadera.

$x = 3, \frac{3}{2}, i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Paso 16