Álgebra Ejemplos

$2 x - y^{2} = 4 y + 10$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Suma $y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 4 y + 10 + y^{2}$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $2 x = 4 y + 10 + y^{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $2 x = 4 y + 10 + y^{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4 y}{2} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4 y}{2} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4 y}{2} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.1.2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $4 y$ .

$x = \frac{2 (2 y)}{2} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Paso 1.1.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x = \frac{2 (2 y)}{2 (1)} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Paso 1.1.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 1} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Paso 1.1.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2 y}{1} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Paso 1.1.2.3.1.1.2.4

Divide $2 y$ por $1$ .

$x = 2 y + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Divide $10$ por $2$ .

$x = 2 y + 5 + \frac{y^{2}}{2}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $2 y + 5 + \frac{y^{2}}{2}$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1.1

Mueve $5$ .

$2 y + \frac{y^{2}}{2} + 5$

Paso 1.2.1.2

Reordena $2 y$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y + 5$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = 5$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.4.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 1 \cdot 2$

Paso 1.2.4.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 5 - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$e = 5 - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Divide $4$ por $2$ .

$e = 5 - \frac{4}{2}$

Paso 1.2.5.2.1.4

Divide $4$ por $2$ .

$e = 5 - 1 \cdot 2$

Paso 1.2.5.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e = 5 - 2$

Paso 1.2.5.2.2

Resta $2$ de $5$ .

$e = 3$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{2} {(y + 2)}^{2} + 3$ .

$\frac{1}{2} {(y + 2)}^{2} + 3$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y + 2)}^{2} + 3$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = - 2$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(3, - 2)$

Paso 4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 4.3.2

Divide $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 5

Obtén la directriz.

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Paso 5.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = \frac{5}{2}$

Paso 6