Álgebra Ejemplos

$- \frac{\sqrt{2}}{3} + i$

Paso 1

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 2

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a = - \frac{\sqrt{2}}{3}$ y $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2} + {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Paso 4

Obtén $| z |$ .

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Paso 4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| z | = \sqrt{1 + {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{2}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}})}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + 1 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}})}$

Paso 4.3.2

Multiplica $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{1 + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}}}$

Paso 4.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{1 + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Paso 4.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{1 + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Paso 4.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Paso 4.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{1 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Paso 4.4.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{1 + \frac{2}{3^{2}}}$

Paso 4.4.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{1 + \frac{2}{3^{2}}}$

Paso 4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.5.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + \frac{2}{9}}$

Paso 4.5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$| z | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{2}{9}}$

Paso 4.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$| z | = \sqrt{\frac{9 + 2}{9}}$

Paso 4.5.4

Suma $9$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{11}{9}}$

Paso 4.6

Reescribe $\sqrt{\frac{11}{9}}$ como $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{9}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{9}}$

Paso 4.7

Simplifica el denominador.

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Paso 4.7.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 4.7.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = \frac{\sqrt{11}}{3}$

Paso 5

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{3}})$

Paso 6

Como la tangente inversa de $\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{3}}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $2.01130698$ .

$θ = 2.01130698$

Paso 7

Sustituye los valores de $θ = 2.01130698$ y $| z | = \frac{\sqrt{11}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{11}}{3 (\cos (2.01130698) + i \sin (2.01130698))}$