Álgebra Ejemplos

$7 x y - \frac{y}{7} = \frac{2}{x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (7 x y - \frac{y}{7}) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{x})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x y - \frac{y}{7}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x y$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$7 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Paso 2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$7 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{7}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- \frac{1}{7}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{y}{7}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{7} \frac{d}{d x} [y]$ .

$7 (x y' + y) - \frac{1}{7} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$7 (x y' + y) - \frac{1}{7} y'$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 (x y') + 7 y - \frac{1}{7} y'$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$7 x y' - \frac{1}{7} y' + 7 y$

Paso 2.4.3

Combina $y'$ y $\frac{1}{7}$ .

$7 x y' - \frac{y'}{7} + 7 y$

Paso 2.4.4

Para escribir $7 x y'$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$7 x y' \cdot \frac{7}{7} - \frac{y'}{7} + 7 y$

Paso 2.4.5

Combina $7 x y'$ y $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7 x y' \cdot 7}{7} - \frac{y'}{7} + 7 y$

Paso 2.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7 x y' \cdot 7 - y'}{7} + 7 y$

Paso 2.4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.7.1

Factoriza $y'$ de $7 x y' \cdot 7 - y'$ .

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Paso 2.4.7.1.1

Factoriza $y'$ de $7 x y' \cdot 7$ .

$\frac{y' (7 x \cdot 7) - y'}{7} + 7 y$

Paso 2.4.7.1.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$\frac{y' (7 x \cdot 7) + y' \cdot - 1}{7} + 7 y$

Paso 2.4.7.1.3

Factoriza $y'$ de $y' (7 x \cdot 7) + y' \cdot - 1$ .

$\frac{y' (7 x \cdot 7 - 1)}{7} + 7 y$

Paso 2.4.7.2

Multiplica $7$ por $7$ .

$\frac{y' (49 x - 1)}{7} + 7 y$

Paso 2.4.8

Para escribir $7 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{y' (49 x - 1)}{7} + 7 y \cdot \frac{7}{7}$

Paso 2.4.9

Combina $7 y$ y $\frac{7}{7}$ .

$\frac{y' (49 x - 1)}{7} + \frac{7 y \cdot 7}{7}$

Paso 2.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y' (49 x - 1) + 7 y \cdot 7}{7}$

Paso 2.4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y' (49 x) + y' \cdot - 1 + 7 y \cdot 7}{7}$

Paso 2.4.11.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{49 y' x + y' \cdot - 1 + 7 y \cdot 7}{7}$

Paso 2.4.11.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y'$ .

$\frac{49 y' x - 1 \cdot y' + 7 y \cdot 7}{7}$

Paso 2.4.11.4

Reescribe $- 1 y'$ como $- y'$ .

$\frac{49 y' x - y' + 7 y \cdot 7}{7}$

Paso 2.4.11.5

Multiplica $7$ por $7$ .

$\frac{49 y' x - y' + 49 y}{7}$

Paso 2.4.12

Reordena los factores en $\frac{49 y' x - y' + 49 y}{7}$ .

$\frac{49 x y' - y' + 49 y}{7}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Paso 3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 3.5.2

Combina los términos.

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Paso 3.5.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Paso 3.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{49 x y' - y' + 49 y}{7} = - \frac{2}{x^{2}}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $7$ .

$\frac{49 x y' - y' + 49 y}{7} \cdot 7 = - \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $\frac{49 x y' - y' + 49 y}{7} \cdot 7$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{49 x y' - y' + 49 y}{7} \cdot 7 = - \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$

Paso 5.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$49 x y' - y' + 49 y = - \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$

Paso 5.2.1.1.2

Mueve $x$ .

$49 y' x - y' + 49 y = - \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $- \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Multiplica $- \frac{2}{x^{2}} \cdot 7$ .

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Paso 5.2.2.1.1.1

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$49 y' x - y' + 49 y = - 7 \frac{2}{x^{2}}$

Paso 5.2.2.1.1.2

Combina $- 7$ y $\frac{2}{x^{2}}$ .

$49 y' x - y' + 49 y = \frac{- 7 \cdot 2}{x^{2}}$

Paso 5.2.2.1.1.3

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$49 y' x - y' + 49 y = \frac{- 14}{x^{2}}$

Paso 5.2.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$49 y' x - y' + 49 y = - \frac{14}{x^{2}}$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Resta $49 y$ de ambos lados de la ecuación.

$49 y' x - y' = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $49 y' x - y'$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $y'$ de $49 y' x$ .

$y' (49 x) - y' = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (49 x) + y' \cdot - 1 = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$

Paso 5.3.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (49 x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (49 x - 1) = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$

Paso 5.3.3

Divide cada término en $y' (49 x - 1) = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$ por $49 x - 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.3.1

Divide cada término en $y' (49 x - 1) = - \frac{14}{x^{2}} - 49 y$ por $49 x - 1$ .

$\frac{y' (49 x - 1)}{49 x - 1} = \frac{- \frac{14}{x^{2}}}{49 x - 1} + \frac{- 49 y}{49 x - 1}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común de $49 x - 1$ .

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Paso 5.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (49 x - 1)}{49 x - 1} = \frac{- \frac{14}{x^{2}}}{49 x - 1} + \frac{- 49 y}{49 x - 1}$

Paso 5.3.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \frac{14}{x^{2}}}{49 x - 1} + \frac{- 49 y}{49 x - 1}$

Paso 5.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = - \frac{14}{x^{2}} \cdot \frac{1}{49 x - 1} + \frac{- 49 y}{49 x - 1}$

Paso 5.3.3.3.1.2

Multiplica $\frac{1}{49 x - 1}$ por $\frac{14}{x^{2}}$ .

$y' = - \frac{14}{(49 x - 1) x^{2}} + \frac{- 49 y}{49 x - 1}$

Paso 5.3.3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{14}{(49 x - 1) x^{2}} - \frac{49 y}{49 x - 1}$

Paso 5.3.3.3.2

Para escribir $- \frac{49 y}{49 x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y' = - \frac{14}{(49 x - 1) x^{2}} - \frac{49 y}{49 x - 1} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Paso 5.3.3.3.3

Multiplica $\frac{49 y}{49 x - 1}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y' = - \frac{14}{(49 x - 1) x^{2}} - \frac{49 y x^{2}}{(49 x - 1) x^{2}}$

Paso 5.3.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 14 - 49 y x^{2}}{(49 x - 1) x^{2}}$

Paso 5.3.3.3.5

Factoriza $7$ de $- 14 - 49 y x^{2}$ .

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Paso 5.3.3.3.5.1

Factoriza $7$ de $- 14$ .

$y' = \frac{7 (- 2) - 49 y x^{2}}{(49 x - 1) x^{2}}$

Paso 5.3.3.3.5.2

Factoriza $7$ de $- 49 y x^{2}$ .

$y' = \frac{7 (- 2) + 7 (- 7 y x^{2})}{(49 x - 1) x^{2}}$

Paso 5.3.3.3.5.3

Factoriza $7$ de $7 (- 2) + 7 (- 7 y x^{2})$ .

$y' = \frac{7 (- 2 - 7 y x^{2})}{(49 x - 1) x^{2}}$

Paso 5.3.3.3.6

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{7 (- 1 (2) - 7 y x^{2})}{(49 x - 1) x^{2}}$

Paso 5.3.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- 7 y x^{2}$ .

$y' = \frac{7 (- 1 (2) - (7 y x^{2}))}{(49 x - 1) x^{2}}$

Paso 5.3.3.3.8

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2) - (7 y x^{2})$ .

$y' = \frac{7 (- 1 (2 + 7 y x^{2}))}{(49 x - 1) x^{2}}$

Paso 5.3.3.3.9

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.3.9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{7 (2 + 7 y x^{2})}{(49 x - 1) x^{2}}$

Paso 5.3.3.3.9.2

Reordena los factores en $- \frac{7 (2 + 7 y x^{2})}{(49 x - 1) x^{2}}$ .

$y' = - \frac{7 (2 + 7 y x^{2})}{x^{2} (49 x - 1)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7 (2 + 7 y x^{2})}{x^{2} (49 x - 1)}$