Álgebra Ejemplos

$5 \tan (\frac{x}{y}) = 12 x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (5 \tan (\frac{x}{y})) = \frac{d}{d x} (12 x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \tan (\frac{x}{y})$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{y})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{y})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{y}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$5 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{y}$ .

$5 (\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.4.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Paso 2.6

Combina $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ y $5$ .

$\frac{(y - x y') \cdot 5}{y^{2}} \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Paso 2.7

Combina $\frac{(y - x y') \cdot 5}{y^{2}}$ y $\sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{(y - x y') \cdot 5 \sec^{2} (\frac{x}{y})}{y^{2}}$

Paso 2.8

Mueve $5$ a la izquierda de $y - x y'$ .

$\frac{5 \cdot (y - x y') \sec^{2} (\frac{x}{y})}{y^{2}}$

Paso 2.9

Simplifica.

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Paso 2.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(5 y + 5 (- x y')) \sec^{2} (\frac{x}{y})}{y^{2}}$

Paso 2.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) + 5 (- x y') \sec^{2} (\frac{x}{y})}{y^{2}}$

Paso 2.9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.3.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 5 x y' \sec^{2} (\frac{x}{y})}{y^{2}}$

Paso 2.9.3.2

Reordena los factores en $5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 5 x y' \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) y'}{y^{2}}$

Paso 2.9.4

Factoriza $5 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ de $5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) y'$ .

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Paso 2.9.4.1

Factoriza $5 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ de $5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y) - 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) y'}{y^{2}}$

Paso 2.9.4.2

Factoriza $5 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ de $- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) y'$ .

$\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y) + 5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (- x y')}{y^{2}}$

Paso 2.9.4.3

Factoriza $5 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ de $5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y) + 5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (- x y')$ .

$\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$12$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} = 12$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = 12 y^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica $\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = 12 y^{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y') = 12 y^{2}$

Paso 5.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) y + 5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (- x y') = 12 y^{2}$

Paso 5.2.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) y - 5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y') = 12 y^{2}$

Paso 5.2.1.3.2

Reordena los factores en $5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) y - 5 \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y')$ .

$5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 5 x y' \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 12 y^{2}$

Paso 5.2.1.3.3

Mueve $x$ .

$5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 12 y^{2}$

Paso 5.2.1.3.4

Reordena $5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ y $- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 12 y^{2}$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Resta $5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 12 y^{2} - 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Paso 5.3.2

Divide cada término en $- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 12 y^{2} - 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ por $- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Divide cada término en $- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 12 y^{2} - 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ por $- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 5.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Paso 5.3.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})}{x \sec^{2} (\frac{x}{y})} = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})}{x \sec^{2} (\frac{x}{y})} = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Paso 5.3.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' \sec^{2} (\frac{x}{y})}{\sec^{2} (\frac{x}{y})} = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Paso 5.3.2.2.3

Cancela el factor común de $\sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

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Paso 5.3.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \sec^{2} (\frac{x}{y})}{\sec^{2} (\frac{x}{y})} = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Paso 5.3.2.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{12 y^{2}}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Paso 5.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{12 y^{2}}{5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Paso 5.3.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 5.3.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{12 y^{2}}{5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{- 5 y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- 5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Paso 5.3.2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{12 y^{2}}{5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Paso 5.3.2.3.1.3

Cancela el factor común de $\sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

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Paso 5.3.2.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{12 y^{2}}{5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{x \sec^{2} (\frac{x}{y})}$

Paso 5.3.2.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{12 y^{2}}{5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{y}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{12 y^{2}}{5 x \sec^{2} (\frac{x}{y})} + \frac{y}{x}$