Álgebra Ejemplos

$x^{2} \cos (y) + \sin (2 y) = x y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)) = \frac{d}{d y} (x y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [x^{2} \cos (y)]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x^{2}$ y $g (y) = \cos (y)$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (y)$ con respecto a $y$ es $- \sin (y)$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Paso 2.2.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) (2 x x') + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Paso 2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (y)$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \sin (y)$ y $g (y) = 2 y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 y$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 2.3.1.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (u_{2}) \frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 y$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (2 y) \frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 2.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (2 y) (2 \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (2 y) (2 \cdot 1)$

Paso 2.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (2 y) \cdot 2$

Paso 2.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 y)$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + 2 \cos (2 y)$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$- x^{2} \sin (y) + 2 x \cos (y) x' + 2 \cos (2 y)$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x + y \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x + y x'$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$y x' + x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- x^{2} \sin (y) + 2 x \cos (y) x' + 2 \cos (2 y) = y x' + x$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- x^{2} \sin (y) + 2 x \cos (y) x' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) = y x' + x$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $x'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Suma $x^{2} \sin (y)$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x \cos (y) x' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) = y x' + x + x^{2} \sin (y)$

Paso 5.2.2

Resta $2 (1 - 2 \sin^{2} (y))$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x \cos (y) x' = y x' + x + x^{2} \sin (y) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (y))$

Paso 5.3

Resta $y x'$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x \cos (y) x' - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (y))$

Paso 5.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.1

Reordena los factores en $2 x \cos (y) x' - y x'$ .

$2 x x' \cos (y) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (y))$

Paso 5.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x x' \cos (y) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 \cdot 1 - 2 (- 2 \sin^{2} (y))$

Paso 5.5.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 x x' \cos (y) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 - 2 (- 2 \sin^{2} (y))$

Paso 5.5.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$2 x x' \cos (y) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$

Paso 5.6

Resuelve la ecuación en $x'$ .

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Paso 5.6.1

Factoriza $x'$ de $2 x x' \cos (y) - y x'$ .

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Paso 5.6.1.1

Factoriza $x'$ de $2 x x' \cos (y)$ .

$x' (2 x \cos (y)) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$

Paso 5.6.1.2

Factoriza $x'$ de $- y x'$ .

$x' (2 x \cos (y)) + x' (- y) = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$

Paso 5.6.1.3

Factoriza $x'$ de $x' (2 x \cos (y)) + x' (- y)$ .

$x' (2 x \cos (y) - y) = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$

Paso 5.6.2

Divide cada término en $x' (2 x \cos (y) - y) = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$ por $2 x \cos (y) - y$ y simplifica.

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Paso 5.6.2.1

Divide cada término en $x' (2 x \cos (y) - y) = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$ por $2 x \cos (y) - y$ .

$\frac{x' (2 x \cos (y) - y)}{2 x \cos (y) - y} = \frac{x}{2 x \cos (y) - y} + \frac{x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} + \frac{- 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Paso 5.6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.2.1

Cancela el factor común de $2 x \cos (y) - y$ .

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Paso 5.6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (2 x \cos (y) - y)}{2 x \cos (y) - y} = \frac{x}{2 x \cos (y) - y} + \frac{x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} + \frac{- 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Paso 5.6.2.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{x}{2 x \cos (y) - y} + \frac{x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} + \frac{- 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Paso 5.6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.2.3.1

Simplifica los términos.

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Paso 5.6.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = \frac{x}{2 x \cos (y) - y} + \frac{x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Paso 5.6.2.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{x + x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Paso 5.6.2.3.1.3

Factoriza $x$ de $x + x^{2} \sin (y)$ .

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Paso 5.6.2.3.1.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x' = \frac{x^{1} + x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Paso 5.6.2.3.1.3.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x' = \frac{x \cdot 1 + x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Paso 5.6.2.3.1.3.3

Factoriza $x$ de $x^{2} \sin (y)$ .

$x' = \frac{x \cdot 1 + x (x \sin (y))}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Paso 5.6.2.3.1.3.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (x \sin (y))$ .

$x' = \frac{x (1 + x \sin (y))}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Paso 5.6.2.3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{x (1 + x \sin (y)) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Paso 5.6.2.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x' = \frac{x \cdot 1 + x (x \sin (y)) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Paso 5.6.2.3.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x' = \frac{x + x (x \sin (y)) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Paso 5.6.2.3.2.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.2.3.2.3.1

Mueve $x$ .

$x' = \frac{x + x \cdot x \sin (y) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Paso 5.6.2.3.2.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x' = \frac{x + x^{2} \sin (y) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Paso 5.6.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$