Álgebra Ejemplos

${(3 + 4 i)}^{4}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(3)}^{4 - k} \cdot {(4 i)}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(3)}^{4 - 0} \cdot {(4 i)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(3)}^{4 - 1} \cdot {(4 i)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(3)}^{4 - 2} \cdot {(4 i)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(3)}^{4 - 3} \cdot {(4 i)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(3)}^{4 - 4} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

$1 \cdot {(3)}^{4} \cdot {(4 i)}^{0} + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4

Simplifica el resultado del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica ${(3)}^{4}$ por $1$ .

${(3)}^{4} \cdot {(4 i)}^{0} + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$81 \cdot {(4 i)}^{0} + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.3

Aplica la regla del producto a $4 i$ .

$81 \cdot (4^{0} i^{0}) + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$81 \cdot (1 i^{0}) + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.5

Multiplica $i^{0}$ por $1$ .

$81 \cdot i^{0} + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$81 \cdot 1 + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.7

Multiplica $81$ por $1$ .

$81 + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.8

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$81 + 4 \cdot 27 \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.9

Multiplica $4$ por $27$ .

$81 + 108 \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.10

Simplifica.

$81 + 108 \cdot (4 i) + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.11

Multiplica $4$ por $108$ .

$81 + 432 i + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.12

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$81 + 432 i + 6 \cdot 9 \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.13

Multiplica $6$ por $9$ .

$81 + 432 i + 54 \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.14

Aplica la regla del producto a $4 i$ .

$81 + 432 i + 54 \cdot (4^{2} i^{2}) + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.15

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$81 + 432 i + 54 \cdot (16 i^{2}) + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.16

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$81 + 432 i + 54 \cdot (16 \cdot - 1) + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.17

Multiplica $54 (16 \cdot - 1)$ .

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Paso 4.1.17.1

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$81 + 432 i + 54 \cdot - 16 + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.17.2

Multiplica $54$ por $- 16$ .

$81 + 432 i - 864 + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.18

Evalúa el exponente.

$81 + 432 i - 864 + 4 \cdot 3 \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.19

Multiplica $4$ por $3$ .

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.20

Aplica la regla del producto a $4 i$ .

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (4^{3} i^{3}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.21

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (64 i^{3}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.22

Factoriza $i^{2}$ .

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (64 (i^{2} \cdot i)) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.23

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (64 (- 1 \cdot i)) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.24

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (64 (- i)) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.25

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (- 64 i) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.26

Multiplica $- 64$ por $12$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.27

Multiplica ${(3)}^{0}$ por $1$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.28

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 1 \cdot {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.29

Multiplica ${(4 i)}^{4}$ por $1$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + {(4 i)}^{4}$

Paso 4.1.30

Aplica la regla del producto a $4 i$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 4^{4} i^{4}$

Paso 4.1.31

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 256 i^{4}$

Paso 4.1.32

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 4.1.32.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 256 {(i^{2})}^{2}$

Paso 4.1.32.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 256 {(- 1)}^{2}$

Paso 4.1.32.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 256 \cdot 1$

Paso 4.1.33

Multiplica $256$ por $1$ .

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 256$

Paso 4.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.2.1

Resta $864$ de $81$ .

$- 783 + 432 i - 768 i + 256$

Paso 4.2.2

Suma $- 783$ y $256$ .

$- 527 + 432 i - 768 i$

Paso 4.2.3

Resta $768 i$ de $432 i$ .

$- 527 - 336 i$